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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 41

Se X tilde b ( n , p ) , prove que E (X) = n p e V a r ( X ) = n p q .

(Sugestão: calcule E ( X ) e V a r ( X ) para n = 1 , 2 , . . . e t c .)

Passo 1

Vamos lá!

n=1

E (X) = 0 xx P (X = 0) + 1 xx P (X = 1) = ([[1],[1]]) xx p xx (1 - p)^0 = p

V a r (X) = E (X^2) - [E (X)]^2 = p - p^2 = p (1 - p)

n=2

E (X) = 0 xx P (X = 0) + 1 xx P (X = 1) + 2 xx P (X = 2) =

= ([[2],[1]]) xx p xx (1 - p) + ([[2],[2]]) xx p^2 xx (1 - p)^0 =

= 2 p xx (1 - p) + 2 p^2 = 2 p

V a r (X) = E (X^2) - [E (X)]^2 = 2 p^2 + 2 p - 4 p^2 = 2 p ( p - 1 )

Passo 2

A prova agora será por indução:

Suponha válido para n-1, isto é:

E (X,n - 1) = sum_(x = 1)^(n - 1) x ([[n - 1],[x]]) p^x q^(n - x - 1) = (n - 1) p

E vamos provar que E (X,n) = n p .

Mas pelo fato de que p + q = 1 , obtém-se que:

(p + q)^(n - 1) = sum_(x = 1)^(n - 1) x ([[n - 1],[x]]) p^x q^(n - x - 1) = 1

Multiplicando a primeira expressão por p + q , a segunda por p , e somando-se os resultados, obtém-se:

n p = E (X,n - 1) + p = (p + q) xx E (X,n - 1) + (p + q)^(n - 1) xx p

Basta provar que o último termo é E (X,n) :

q xx E (X,n - 1) = sum_(x = 0)^(n - 1) x ([[n - 1],[x]]) p^x q^(n - x)

p xx E (X,n - 1) = sum_(x = 0)^(n - 1) x ([[n - 1],[x]]) p^x q^(n - x - 1)

p xx (p + q)^(n - 1) = sum_(x = 0)^(n - 1) ([[n - 1],[x]]) p^(x + 1) q^(n - x - 1)

Portanto,

p xx E (X,n - 1) + p xx (p + q)^(n - 1) = sum_(x = 0)^(n - 1) ([[n - 1],[x]]) p^(x + 1) q^(n - x - 1) [ x + 1 ]

Então:

q xx E (X,n - 1) + p xx E (X,n + 1) + p xx (p + q)^(n - 1) = sum_(x = 0)^(n - 1) x ([[n - 1],[x]]) p^x q^(n - x) +

+ sum_(x = 0)^(n - 1) (x + 1) ([[n - 1],[x]]) p^(x + 1) q^(n - x - 1) = A

Passo 3

Separando o primeiro termo do primeiro somatório e o último do segundo, tem-se:

A = 0 xx q^n + sum_(x = 0)^(n - 1) x ([[n - 1],[x]]) p^x q^(n - x) + sum_(x = 0)^(n - 2) (x + 1) ([[n - 1],[x]]) p^(x + 1) q^(n - x - 1) + n xx p^n

O coeficiente de p^k q^(n - k) , para k=1, 2, ..., n-1, será a soma do coeficiente do promeiro somatório quando x = k e do segundo somatório quando x + 1 = k , ou seja, x = k - 1 , logo é igual a:

k xx ([[n - 1],[k]]) + k xx ([[n - 1],[k - 1]]) = k xx [([[n - 1],[k]]) + ([[n - 1],[k - 1]])] =

= k xx [((n - 1) !)/(k ! (n - k) !) + ((n - 1) !)/((k - 1) ! (n - k) !)] = k xx ((n - 1) !)/(k ! (n - k) !) [n - k + k] =

= k xx ((n - 1) ! n)/(k ! (n - k) !) = k xx (n !)/(k ! (n - k) !) = k ([[n],[k]])

Substituindo em A, vem:

A = 0 xx q^n + sum_(k = 1)^(n - 1) k ([[n],[k]]) p^k q^(n - k) + n xx p^n = sum_(k = 0)^n k p^k q^(n - k) = E ( X | n )

Como queríamos provar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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