Se , prove que .
(Sugestão: calcule e para .)
Passo 1
Vamos lá!
n=1
n=2
Passo 2
A prova agora será por indução:
Suponha válido para n-1, isto é:
E vamos provar que
Mas pelo fato de que obtém-se que:
Multiplicando a primeira expressão por , a segunda por , e somando-se os resultados, obtém-se:
Basta provar que o último termo é
Portanto,
Então:
Passo 3
Separando o primeiro termo do primeiro somatório e o último do segundo, tem-se:
O coeficiente de , para k=1, 2, ..., n-1, será a soma do coeficiente do promeiro somatório quando e do segundo somatório quando , ou seja, , logo é igual a:
Substituindo em A, vem:
Como queríamos provar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)