Enunciado
Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 27
Se a probabilidade de uma lâmpada fluorescente ter vida útil de pelo menos 800 horas é de 0,9, determine a probabilidade de que, entre 20 lâmpadas,
(a) exatamente 18 terão vida útil de pelo menos 800 horas;
(b) pelo menos 15 terão vida útil de pelo menos 800 horas;
(c) pelo menos duas não terão vida útil de pelo menos 800 horas.
Passo 1
Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!
Primeiro vamos enunciar alguns dados do exercício:
Vamos definir a nossa variável aleatória sendo a quantidade de lâmpadas que tem vida útil igual ou superior a 800 horas.
Passo 2
Show! Vamos adiante.
No item a) queremos determinar a probabilidade de que entre 20 lâmpadas, exatamente 18 terão vida útil de pelo menos 800 horas;
Podemos modelar o nosso problema como uma binomial, da seguinte maneira:
No nosso caso
Logo:
além disso estamos interessados no caso em que
Logo:
Resolvendo:
Passo 3
Agora vamos prosseguir com a resolução e calcular o item b).
Nesse item queremos determinar a probabilidade de que, entre 20 lâmpadas pelo menos 15 terão vida útil de pelo menos 800 horas.
Em suma, o que queremos é:
Podemos usar o complementar para nos ajudar nos cálculos:
Agora podemos usar o modelo binomial que a gente desenvolveu no item a)
Resolvendo a expressão acima, podemos concluir que:
Passo 4
Por fim, iremos concluir com o item c).
Nesse item queremos determinar a probabilidade de que, entre 20 lâmpada pelo menos duas não terão vida útil de pelo menos 800 horas.
Ou seja, estudar isso é equivalente a estudar a probabilidade de que no máximo 18 lâmpadas funcionem nesse horário.
Logo, queremos:
Calculando isso: