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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 46

Prove que, se A e B são independentes, também o serão Ac e Bc, A e Bc e Ac e B.

Passo 1

Visto que:

P A ∩ B =   P A * P B , A e B independentes em suas probabilidades.

Analogamente pode-se considerar para Ac e Bc

P ( A c   ∩ B c )   =   P ( ( A ∩ B ) c )   = 1 - P ( A ∪ B ) = 1 - P ( A ) - P ( B ) + P ( A ∩ B )   =   [ 1 -   P ( A ) ] [ 1 -   P ( B ) ]   =   P ( A c   ) P ( B c   )

Passo 2

Para A e Bc

P A ∩ B c =   P A - P A ∩ B = P A - P A P B =   P A 1 - P B = P A P B c

Passo 3

Para Ac e B

P ( A c ∩ B )   = P ( B ) - P ( A ∩ B ) = P ( B ) - P ( A ) P ( B ) =   P ( B ) [ 1 - P ( A ) ] =   P ( A c ) P ( B )  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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