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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 43

Prove que, quando n   →   ∞ e p   →   0 , mas de tal sorte que n p   →   λ , temos

n k p k . q n - k → e - λ . λ k k ! .

Sugerimos que você use o fato: 1 - λ n n → e - λ quando n → ∞ .

Passo 1

Primeiro, o que nós queremos?

Queremos provar que quando os paramêtros n e p da distribuição binomial tendem ao infinito e a zero respectivamente, nos aproximamos da distribuição de Poisson, vejamos:

Quando n   →   ∞ e p   →   0 , temos

n k p k . q n - k → e - λ . λ k k ! .

Para provar isso, precisamos considerar a seguinte relação: E X = n p = λ , ou seja, se X ~ b 100 ; 1 100 , aproximando pela Poisson, temos X ~ P o i s s o n ( 1 ) .

Sabemos que a f.d.p da distribuição binomial é

n k p k . ( 1 - p ) n - k

Agora, vamos aplicar o limite com n → ∞ .

Passo 2

Aplicando o limite com n → ∞ e utilizando a nossa relação n p = λ , temos

lim n → ∞ ⁡ n k × p k × 1 - p n - k = lim n → ∞ ⁡ n ! n - k ! k ! × λ n k × n - λ n n - k =

= lim n → ∞ ⁡ λ k k ! × n n - 1 × … × n - k + 1 1 n k × n - λ n n - k

= lim n → ∞ ⁡ λ k k ! × 1 × 1 - 1 n … 1 - k - 1 n × n - λ n n - k =

Como λ k k !   é uma constate, podemos jogar para fora do limite

= λ k k !   × lim n → ∞ ⁡ 1 × 1 - 1 n … 1 - k - 1 n × 1 - λ n n × 1 - λ n - k =  

C o m o   1 - λ n - k → 1 ; 1 - 1 n … 1 - k - 1 n → 1   e   1 - λ n → e - λ

                                              E n t ã o :

n k × p k × 1 - p n - k → e - λ × λ k k !   q u a n d o   n → ∞

Como queríamos provar 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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