Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 11
De quantas maneiras três romances, dois
livros de matemática e um livro de química
podem ser arranjados em uma prateleira se
(a) eles puderem ser colocados em qualquer ordem?
(b) for necessário que os livros de matemática fiquem juntos e os romances
também?
(c) for necessário que os romances fiquem
juntos, podendo os demais livros ser
organizados de qualquer maneira?
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos descobrir como podemos organizar a nossa estante de livros.
a) Temos aqui 6 livros e queremos saber de quantas formas podemos ordena-los sem qualquer restrição.
Para isto vamos utilizar o conceito de permutação, que é um cálculo simples utilizado para descobrir de quantas formas podemos embaralhar elementos. Lembrando sobre a formula de permutação:
Passo 2
Como no nosso caso são 6 livros, e teremos maneiras de organizar os livros.
Passo 3
b) Agora temos 6 livros e queremos saber de quantas formas podemos ordena-los, mas de formas que os livros de mesma categoria fiquem juntos.
Vamos separar cada classe de livros em grupos, a nossa estratégia será descobrir primeiro de quantas formas podemos formar cada um dos grupos.
O grupo dos livros de romance tem três livros, então nesse caso .
Já o grupo dos livros de matemática tem dois livros, então:
Passo 4
Agora se pensarmos em cada grupo com um único objeto, teremos 3 grupos que queremos saber que quantas formas vamos dispor. Então novamente:
Agora vamos utilizar o PFC, que diz que toda vez que estamos contando formas de se fazer algo e aparecer um “e” no nosso raciocínio precisamos multiplicar as possibilidades de cada um.
Aqui a gente decidiu como organizar os livros de romance e os livros de matemática e depois como poderíamos organizar os grupos, então temos que multiplicar cada possibilidade:
Passo 5
c) Agora são 6 livros e queremos saber de quantas formas podemos ordena-los, mas de formas que somente os livros de romance fiquem juntos.
Vamos pensar que os livros de romance são um único grupo, a nossa estratégia será descobrir primeiro de quantas formas podemos formar cada este grupo e depois pensar que este grupo é uma única unidade.
O grupo dos livros de romance tem três livros, então nesse caso .
Passo 6
Se pensarmos que todos os livros de romance são simplesmente um grupo, teremos 1 grupo + 3 outros livros, totalizando 4 elementos, que precisamos saber de quantas formas podem ser organizados, logo:
Agora vamos utilizar o PFC, que diz que toda vez que estamos contando formas de se fazer algo e aparecer um “e” no nosso raciocínio precisamos multiplicar as possibilidades de cada um.
Aqui a gente decidiu como organizar os livros de romance e depois como poderíamos organizar os grupos, então temos que multiplicar cada possibilidade:
Resposta
a) Os livros podem ser dispostos de 720 formas diferentes.
b) Os livros separados em grupos podem ser dispostos de 72 formas diferentes.
c) Os livros separados em grupos podem ser dispostos de 144 formas diferentes.