No Problema 21, quantos caminhos diferentes existem entre A e B que passam

pelo ponto circulado mostrado na figura

a seguir?

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos aprender como se movimentar em um labirinto.

Ao ler o enunciado notamos que temos somente 2 escolhas, ou ir para cima ou ir para a direita. Vamos chamar “C” de ir para Cima e “D” de ir para a direita.

Vamos pensar que o primeiro alvo é o ponto circulado e notamos que para chegar lá precisamos subir duas vezes e ir para a direita duas vezes, o caminho mais simples seria “DDCC”.

E o segundo alvo será o ponto B que precisaremos chegar lá andando mais duas vezes para a direita e subindo uma, a partir do ponto circulado, o caminho mais simples seria “DDC”.

Passo 2

Se qualquer ordem que fizermos estes movimentos separadamente, chegaremos ao objetivo, podemos permutar a “palavra” DDCC e a palavra DDC para encontrar qualquer solução.

Para descobrirmos de quantas formas podemos permutar esta palavra vamos utilizar a permutação de n elementos com repetições:

P n α , β … ζ = n ! α ! β ! … ζ !

No primeiro caso “DDCC” temos 4 letras, e 2 repetições do “D” e 2 repetições do “C”, portanto:

P 4 2 , 2 = 4 ! 2 ! 2 ! = 6

Passo 3

E no segundo caso “DDC” temos 3 letras e 2 repetições:

P 3 2 = 3 ! 2 ! = 3

Segundo o PFC quando aparece um “e” no nosso argumento precisamos multiplicar as possibilidades para encontrar as possibilidades totais.

6 ⋅ 3 = 18

Resposta

18 formas de chegar ao ponto B passando pelo ponto circulado.

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