Enunciado

O resultado do SAS apresentado a seguir baseia-se em dados extraídos do artigo “Evidence for and the Rate of Denitrification in the Arabian Sea” (Deep Sea Research, 1978, p. 431–435). As variáveis em estudo são x nível de salinidade (%) e y nível de nitrato ( M/L). a. Qual é o tamanho da amostra n? [Sugestão: procure graus de liberdade para SQE.] b. Calcule uma estimativa pontual do nível de nitrato esperado quando o nível de salinidade é 35,5. c. Parece haver alguma relação linear útil entre as duas variáveis? d. Qual é o valor do coeficiente de correlação amostral? e. Você usaria o modelo de regressão linear simples para tirar conclusões quando o nível de salinidade fosse 40?

Passo 1

A estimativa de mínimos quadrados da inclinação no modelo de regressão linear simples é

b 1 = β ^ 1 = ∑ x i - x - y i - y - ∑ x i - x - 2 = S x y S x x

Onde S x y é

S X y = ∑ x i y i - 1 n ∑ x i ∑ y i

S x x = ∑ x i 2 - 1 n ∑ x i 2

β ^ 0 = y ¯ - β ^ 1 x ¯

∑ x i y i = 9 ∙ 1.13 + 10 ∙ 1.1 + … + 69 ∙ 4.55 = 941.660 ;

∑ x i = 9 + 10 + … + 69 = 327 ;

∑ y i = 1.13 + 1.1 + … + 4.55 = 22.660 ;

∑ x i 2 = 9 2 + 10 2 + … + 69 2 = 15111 ;

∑ y i 2 = 1.13 2 + 1.1 2 + … + 4.55 2 = 60.544

S x y = 941.660 - 1 11 ∙ 327 ∙ 22.660

= 268.04

S x x = 15111 - 1 11 327 2

= 5390.182

β ^ 1 = S x y S x x = 268.04 5390.182 = 0.049727451

Encontrando y ¯ e x ¯ usando a soma dada no exercício, a estimativa para a intersecção é

= 1 11 ∙ 22.66 - 0.0497 ∙ 1 11 327

= 0.58175

A equação de regressão linear é então

y ^ = 0.582 + 0.0497 x

Passo 2

Para calcular o intervalo de previsão quando y * = 2.01 , calcule SE que é dado no exercício.

A estimativa do desvio padrão σ é

σ ^ = s = S S E n - 2

A soma dos quadrados dos erros, SSE, é

S S E = ∑ y i - y i ^ 2 = ∑ [ y i - ( β ^ 0 + β ^ 1 x i )   ] ²  

A fórmula computacional para SSE é

S S E = ∑ y i 2 - β ^ 0 ∑ y i - β ^ 1 ∑ x i y i = S y y - β ^ 1 S x y

S S E = ∑ y i 2 - β ^ 0 ∑ y i - β ^ 1 ∑ x i y i

= 60.544 - 0.582 ∙ 22.66 - 0.0497 ∙ 941.66

= 0.536

s = S S E n - 2 = 0.244

Passo 3

Calibrar valor de   x ^ quando y * = 2.01

y * = 0.582 + 0.0497 ∙ x ^

2.01 = 0.582 + 0.0497 ∙ x ^

x ^ = 2.01 - 0.582 0.0497 = 28.722

S E = s β ^ 1   1 + 1 n +   x ^ - x ¯ 2 S x x 1 2

= 0.244 0.0497 1 + 1 11 + 28.722 - 327 11 2 5390.182 1 2

= 5.125

Finalmente, por exemplo, um intervalo de previsão de 95% é

x ^ ± t α 2 , n - 2 S E = 28.722 ± 2.262 ∙ 5.125

= ( 17.1 ,   40.3 )

Pode ser que o indivíduo mencionado tenha menos de 22 anos porque 22 pertences ao intervalo acima

Resposta

= ( 17.1 ,   40.3 )

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