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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 12.Exercícios Suplementares - Ex. 69

Os dados a seguir sobre x = taxa de consumo de óleo diesel pelo método de peso líquido e y = taxa medida pelo método de traçado de IC, ambos em g/h, foram reproduzidos de um gráfico apresentado no artigo “A New Measurement Method of Diesel Engine Oil Consumption Rate” (J. Society Auto Engr., 1985, p. 28–33)

a. Supondo que x e y estejam relacionados pelo modelo de regressão linear simples, teste H0: 1 1 versus Ha: 1 1, usando um nível de significância de 0,05.

b. Calcule o valor do coeficiente de correlação amostral para esses dados.

Passo 1

  1. Leia atentamente o que você é obrigado a fazer. Neste caso, um intervalo de confiança para β 1 transmitirá informações sobre a precisão da estimativa. Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para a inclinação β 1 na linha do modelo de regressão linear simples é

    2. β ^ 1 ± t α 2 , n - 2 ∙ s β ^ 1

    A variância e o desvio padrão do estimador   β ^ 1 são

    V β ^ 1 = σ 2 S x x

    σ β ^ 1 = σ S x x

    Onde

    S x x = ∑ x i 2 - 1 n ∑ x i 2

    Ao estimar o desvio padrão σ com s você obtém estimativa de σ β ^ 1

    S β ^ 1 = s S x x

    A estimativa do desvio padrão σ é

    σ ^ = s = S S E n - 2

    A soma dos quadrados dos erros, SSE, é

    S S E = ∑ y i - y i ^ 2 = ∑ [ y i - ( β ^ 0 + β ^ 1 x i )   ] ²  

    A fórmula computacional para SSE é

    S S E = ∑ y i 2 - β ^ 0 ∑ y i - β ^ 1 ∑ x i y i = S y y - β ^ 1 S x y

    S S E = 41508.37 - 23.772 ∙ 878.12 - 0.987 ∙ 20867.62

    = 34.08

    s = S S E n - 2   = 34.08 17 = 1.416

    S β ^ 1 = s S x x = 1.416 913.68 = 0.046842

    β ^ 1 ± t α 2 , n - 2 ∙ s β ^ 1 = 0.987 ± 2.11 ∙ 0.046842

    = 0.888,1.086

    Valor de t α 2 , n - 2 = t 0.025,17 = 2.11 pode ser encontrado no apêndice do livro.

    Isso indica que a verdadeira média associada a um aumento de um pé na altura da treliça está entre o limite inferior e superior por pé quadrado.

    Passo 2

  2. Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para a média de Y quando x = x *

    3. β ^ 0 + β ^ 1 x * ± t α 2 , n - 2 ∙ s β ^ 0 + β ^ 1 x * = y ^ ± t α 2 , n - 2 ∙ s Y ^

    Seja x * ser um valor fixo de x. Para a variável aleatória

    Y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x *

    vale o seguinte:

    variância da variável aleatória   Y ^ é:

    V Y ^ = σ ^ Y ^ 2 = σ 2 1 n + x * - x ¯ 2 ∑ x i 2 - ∑ x i 2 n = σ 1 n + x * - x ¯ 2 S x x

    O desvio padrão é a raiz quadrada da expressão. Ao substituir (estimar) σ por s, você obtém a estimativa da variância e/ou desvio padrão da variável aleatória   Y ^

    y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x * = 23.772 + 0.987 ∙ 25

    = 48.4551

    O desvio padrão de   Y ^ é

    s Y ^ = s ⋅ 1 n + x * - x - 2 ∑ x i 2 - ∑ x i 2 / n = s 1 n + x * - x - 2 S x x = 1.416 ⋅ 1 19 + ( 25 - 439 / 19 ) 2 913.68 = 0.3417 .

    Observação: sempre use os valores corretos em vez de arredondados, se possível.

    Um intervalo de confiança de 95% para a média de Y quando x=25 é

    β ^ 0 + β ^ 1 x * ± t α 2 , n - 2 ⋅ s β ^ 0 + β ^ 1 x * = y ^ ± t α 2 , n - 2 ⋅ s Y ^ = 48.451 ± 2.211 ⋅ 0.3417 = ( 47.730,49.172 ) .

    (usando valores não arredondados)

    Você pode estar 95% confiante de que a média de Y quando x=25 está entre os dois valores.

    Passo 3

  3. Intervalo de previsão

    4. β ^ 0 + β ^ 1 x * ± t α 2 , n - 2 ⋅ s 1 + 1 n + x * - x - 2 S x x = β ^ 0 + β ^ 1 x * ± t α 2 , n - 2 ⋅ s 2 + s β ^ 0 + β ^ 1 x * = y ^ ± t α 2 , n - 2 ⋅ s 2 + s Y ^ 2

    é um intervalo de previsão de 100 1 - α %   para uma observação futura Y, quando x = x * . Os valores necessários para calcular um intervalo de previsão de 95\%95% podem ser encontrados em (a)(a); assim, um intervalo de previsão de 95\%95% quando x * =   25 é

    β ^ 0 + β ^ 1 x * ± t α 2 , n - 2 ⋅ s 1 + 1 n + x * - x - 2 S x x = β ^ 0 + β ^ 1 x * ± t α 2 , n - 2 ⋅ s 2 + s β ^ 0 + β ^ 1 x * 2 = y ^ ± t α 2 , n - 2 ⋅ s 2 + s Y ^ 2 = 48.451 ± 2.11 ⋅ 1.416 2 + 0.3417 2 = ( 45.378,51.524 ) .

    Um intervalo de confiança de 95% é mais estreito que um intervalo de previsão de 95%

  4. A variância da variável aleatória   Y ^ é

    5. V Y ^ = σ ^ Y ^ 2 = σ 2 1 n + x * - x - 2 ∑ x i 2 - ∑ x i 2 n = σ 2 1 n + x * - x - 2 S x x

    O desvio padrão é a raiz quadrada da expressão. Ao substituir (estimar) σ por s você obtém a estimativa da variância e/ou desvio padrão da variável aleatória   Y ^ .

    A partir desta fórmula, você pode notar que você deve olhar para

    x * - x - 2

    porque quanto menor for o valor dessa expressão, menor será o desvio padrão estimado. Por causa disso, o intervalo de previsão será mais estreito quando x * =   25   porque está mais próximo de x ¯ do que quando x * =   3 0 . Desta forma, intervalo de previsão quando x *   = 30 é mais largo.

  5. O coeficiente de correlação da amostra r é dado por

r = S x y ∑ x i - x - 2 ∑ y i - y - 2 = S x y S x x S y y

S x y = ∑ x i y i - 1 n ∑ x i ∑ y i S x x = ∑ x i 2 - 1 n ∑ x i 2 S y y = ∑ y i - y - 2 = ∑ y i 2 - 1 n ∑ y i 2

r = S x y ∑ x i - x - 2 ∑ i   y i - y - 2 = S x y S x x S y y = 901.94 913.68 ⋅ 41,508.37 - 878.12 2 19 = 0.981 .

Existe uma forte relação linear entre as variáveis ​​porque r é próximo de 1.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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