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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 34

A seguinte (de algum modo simplório) previsão de tempo é empregada por um amador. O tempo, diariamente, é classificado como “seco” ou “úmido”, e supõe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior seja uma constante p ( 0 < p < 1 ) Com base em registros passados, admite-se que 1º de janeiro tenha probabilidade β   de ser dia "seco". Fazendo β n = p r o b a b i l i d a d e   d e   ( d e   q u e   o   n - é s i m o   d i a   d o   a n o   s e j a   s e c o ) , pede-se obter uma expressão para em termos de β   e   p . Calcule também lim ⁡ β n e interprete o seu resultado

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a probabilidade desses eventos. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

S = d i a   s e c o

M = d i a   ú m i d o

Com esses valores, sabemos que podemos criar um espaço amostral com todas as possibilidades entre esses números.Dessa forma, podemos escrever do seguinte jeito:

X , Y = X 1 ,   Y 1 , X 1 ,   Y 2 , … ,   X n ,   Y n

P A ∪ B ∪ C   = P A + P B + P C - P A ∩ B - P A ∩ C - P B ∩ C + P A ∩ B ∩ C

P A B = P A ∩ B P B

Substituindo a relação na probabilidade, temos que:

β 2 = P s e g u n d o   d i a   d o   a n o   s e r   s e c o

β 2 = β p + 1 - β 1 - p

β 2 = 1 2 + 2 p - 1 β - 1 2

β 3 = P t e r c e i r o   d i a   d o   a n o   s e r   s e c o

β 3 = β p ² + β 1 - p 2 + 1 - β 1 - p p + 1 - β p 1 - p

β 3 = 1 2 + 2 p - 1 ² β - 1 2

β n = 1 2 + 2 p - 1 n - 1 β - 1 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

lim ⁡ β n = 1 2

Resposta

β n = 1 2 + 2 p - 1 n - 1 β - 1 2

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