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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 57

Seja f ( x ) = ( 1 / θ ) x ( 1 - θ ) / θ , 0 < x < 1 e 0 < θ < ∞ .   Mostra que Θ ^ = ∑ i = 1 n l n ( X 1 ) n é um estimador de máxima verossimilhança para θ e que Θ é um estimador não tendencioso para θ .

Passo 1

A função de densidade de probabilidade:

f ( x ) = 1 θ x ( 1 - θ θ ) 0 < x < 1 ,   0 < θ < ∞ .  

Vamos mostrar que Θ ^ =   - ( 1 / n ) ∑ i = 1 n l n   ( X i ) é o estimador de máxima verossimilhança para e que Θ ^ é um estimador imparcial para q.

O estimador de máxima verossimilhança para θ :

L ( θ ) = 1 θ x 1 ( 1 - θ θ ) 1 θ x 2 ( 1 - θ θ ) . . . 1 θ x n ( 1 - θ θ ) = 1 θ n Π n i = 1 x i ( 1 - θ θ )

Passo 2

Vamos aplicar logaritmo em ambos os lados

l o g L ( θ ) = n l o g ( 1 θ ) + l o g Π i = 1 n x i ( 1 - θ θ ) =

= n l o g ( 1 θ ) + ( 1 θ - 1 ) ∑ i = 1 n l o g ( x i )

Vamos diferenciar em relação a θ e igualar a zero, que resulta em Θ ^ .

d l o g L ( θ ) d θ = n 1 θ ( - θ - 2 ) - 1 θ 2 ∑ i = 1 n l o g ( x i ) - 0 = 0

n θ = - 1 θ 2 ∑ i = 1 n l o g ( x i )

Θ ^ = - 1 n ∑ i = 1 n l o g x i

Resposta

Θ ^ = - 1 n ∑ i = 1 n l o g x i

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