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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 63

7-63.Seja X,X......X.uma amostra aleatoria de uma variavel aleatoria continua.com funcao de distnbuicao cumulativa F(x).Encontre

Passo 1

Seja X 1 , X 2 , . . . ,   X n uma amostra aleatória de uma variável aleatória contínua com função de distribuição cumulativa F ( x ) .

P F X ( n ) ≤ t = P X ( n ) ≤ F - 1 ( t ) = t n

Se Y = F X ( n ) ,  então  f y ( y ) = n y n - 1  para   0 ≤ y ≤ 1

Agora, a expectativa de y:

E ( y ) = ∫ 0 1   n y n d y = n ∫ 0 1   y n d y = n y n + 1 n + 1 0 1 = n 1 n + 1 - 0 = n n + 1

Passo 2

Então,

E F X ( n ) = n n + 1

P F X ( 1 ) ≤ t = P X ( 1 ) ≤ F - 1 ( t ) = 1 - ( 1 - t ) n

Se Y = F X ( 1 ) ,  então  f Y ( y ) = n ( 1 - t ) n - 1  para   0 ≤ y ≤ 1

Passo 3

Agora, a expectativa de y é:

E ( y ) = ∫ 0 1   y n ( 1 - y ) n - 1 d y = n ∫ 0 1   y ( 1 - y ) n - 1 d y = n ( 1 - y ) n + 1 n ( n + 1 ) 0 1 = 1 n + 1

Então,

E F X ( 1 ) = 1 n + 1

Resposta

E F X ( n ) = n n + 1 E F X ( 1 ) = 1 n + 1

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