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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 56

Seja f ( x ) = θ x θ - 1 , 0 < θ < ρ e 0 < x < 1 . Mostre que Θ ^ = - n l n ( Π i = 1 n X i ) é um estimador de máxima verossimilhança para θ .

Passo 1

Temos os seguintes dados fornecidos:

A função de densidade de probabilidade

f ( x ) = θ x θ - 1 ; 0 < θ < ∞ ,   e   0 < x < 1

Vamos mostrar que Θ ^ =   - n / ( l n Π n i = 1 X i ) é o estimador de máxima verossimilhança para θ .

O estimador de máxima verossimilhança para θ :

L ( θ ) = θ x 1 θ - 1 θ x 2 θ - 1 . . . θ x n θ - 1 = θ n Π i = 1 n x i θ - 1

Passo 2

Vamos aplicar logaritmo em ambos os lados

l o g L ( θ ) = n l o g θ + l o g ( Π i = 1 n x i θ - 1 )

= n l o g ( θ ) + ( θ - 1 ) l o g ( Π i = 1 n x i )

Vamos diferenciar em relação a θ e igualar a zero, que resulta em Θ ^ .

d l o g L ( θ ) d θ = n θ + l o g ( Π n i = 1 x i ) - 0 = 0

n θ = - l o g ( Π i = 1 n x i )

Θ ^ = - n l o g ( Π i = 1 n x i )

Resposta

Θ ^ = - n l o g ( Π i = 1 n x i )

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