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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 39

Seja W uma variável aleatória gama com parâmetros ( t , β ) , e suponha que, tendo como condição W = w , X 1 , X 2 , … , X n sejam variáveis aleatórias exponenciais independentes com taxa w. Mostre que a distribuição condicional de W dado que X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , … , X n = x n é gama com parâmetros ( t + n ,   β + ∑ i = 1 n X i ).

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Pelas informações do enunciado, a função de massa de probabilidade de N dado que W = w é a seguinte:

f w = β e - β w β w t - 1 Γ t

P N = n W = w = e - w w n n !

Com isso, a densidade condicional de w quando n dado, é:

f W | N w n = P N = n W = w P N = n f ( w )

Substituindo:

f W | N w n = e - w w n n ! P N = n β e - β w β w t - 1 Γ t

Simplificando as contas, vamos chegar em:

f W | N w n = e - w ( β + 1 ) β t w n + t - 1 n ! Γ t P N = n

Passo 2

Vamos considerar aqui agora também que:

P N = n = ∫ 0 ∞ P N = n W = w f w d w

P N = n = ∫ 0 ∞ e - w w n n ! β e - β w β w t - 1 Γ t d w

P N = n = β t n ! Γ t ∫ 0 ∞ e - w ( β + 1 ) w n + t - 1 d w

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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