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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 41

Seja X uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ.

(a) Mostre que

P X   é   p a r = 1 2 1 + e - 2 λ

usando o resultado do Exercício Teórico 4.15 e a relação entre as variáveis aleatórias binomial e de Poisson.

(b) Verifique a fórmula da letra (a) fazendo uso direto da expansão de e - λ + e λ .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Se X é binominal ( n , p ) , então pelo exercício 15 teremos:

q = 1 - p

P p a r = 1 2 1 + ( q - p ) n

Logo:

P p a r = 1 2 1 + ( 1 - 2 p ) n

Além disso, precisamos lembrar que p = λ n , substituindo na última equação:

P p a r = 1 2 1 + ( 1 - 2 λ n ) n = 1 2 1 + e - 2 λ

Passo 2

Ok, agora vamos para a letra (b). Aqui temos que provar que e - λ e - λ + e λ 2 = 1 2 1 + e - 2 λ . Para começar, vamos precisar das seguintes relações:

e λ = 1 + λ 1 ! + λ ² 2 ! + λ ³ 3 ! + … + λ n n !

e - λ = 1 - λ 1 ! + λ 2 2 ! - λ ³ 3 ! + … + λ n n !

Beleza, agora vamos somar:

e λ + e - λ = 1 + λ 1 ! + λ ² 2 ! + λ ³ 3 ! + … + λ n n ! + 1 - λ 1 ! + λ 2 2 ! - λ ³ 3 ! + … + λ n n !

Olha que interessante galera. Reparem que quando temos e - λ , os termos ímpares vão ser sempre negativos. Com isso, quando somamos com os termos de e λ , eles vão se anular, sobrando somente os pares. Logo:

e λ + e - λ = 2 1 + λ ² 2 ! + λ 4 4 ! + λ 6 6 ! + … + λ n n !   - > n   é   p a r

Dividindo por 2 nos dois lados, vamos ter:

e λ + e - λ 2 = 1 + λ ² 2 ! + λ 4 4 ! + λ 6 6 ! + … + λ n n !  

Se a gente agora multiplicar cada lado pelo valor de e - λ , teremos:

e - λ e λ + e - λ 2 = 1 - λ 1 ! + λ 2 2 ! - λ 3 3 ! + … + λ n n ! × 1 + λ ² 2 ! + λ 4 4 ! + λ 6 6 ! + … + λ n n !  

Fazendo a distributiva, teremos:

e - λ e λ + e - λ 2 = 1 - λ + λ 2 - 4 λ 3 6 + …  

Agora vamos provar que vai ser igual ao valor de 1 2 1 + e - 2 λ .

Passo 3

Vamos lá, para isso vamos precisar da relação:

e - λ = 1 - λ 1 ! + λ 2 2 ! - λ ³ 3 ! + … + λ n n !

1 2 1 + e - 2 λ

Substituindo:

1 2 1 + e - 2 λ = 1 2 1 + 1 + ( - 2 λ ) 1 ! + ( - 2 λ ) ² 2 ! + ( - 2 λ ) ³ 3 ! + …

1 2 1 + e - 2 λ = 1 2 2 - 2 λ + 4 λ 2 2 - 8 λ ³ 6 + …

1 2 1 + e - 2 λ = 1 - λ + λ ² - 4 λ ³ 6 + …

Logo, pelo passo 2 e 3, teremos:

e - λ e - λ + e λ 2 = 1 2 1 + e - 2 λ

Resposta

a )   P p a r = 1 2 1 + e - 2 λ

b )   D e s e n v o l v i m e n t o   n o s   P a s s o s   2   e   3

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