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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 13a

Suponha que o comprimento de fósseis encontrados em certa região, dado em centímetros, pode ser representado por uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por:

A. Calcule a média e a variância de X .

B. Se um museu decide comprar os fósseis encontrados pagando R $   100,00   para os de comprimento menor que 10 centímetros e R $   200,00 para os demais, quanto paga em média por exemplar?

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Este exercício nos pede para calcular a média e a variância de X . Certo?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá! Calculando a média de X , ou seja, a esperança de X , temos que:

E X = ∫ x f x d x

Assim,

E X = ∫ 0 12 x 24 d x + ∫ 12 20 1 192 x 2 - 4 × x d x = x 2 48 0 12 + 1 192 × x 3 3 - 4 × x 2 2 12 20

= 12 2 48 - 0 2 48 + 1 192 × 20 3 3 - 2 × 20 2 - 12 3 3 + 2 × 12 2

= 144 48 + 1 192 × 8000 3 - 800 - 1728 3 + 288 = 3 + 1 192 × 4736 3 = 11,22 .

Passo 3

Vamos lá! Calculando a variância de X , temos que calcular, primeiramente:

E X 2 = ∫ x 2 f x d x

Assim,

E X 2 = ∫ 0 12 x 2 24 d x + ∫ 12 20 1 192 x 3 - 4 × x 2 d x = x 3 24 × 3 0 12 + 1 192 × x 4 4 - 4 × x 3 3 12 20

= 12 3 - 0 3 72 + 1 192 × 20 4 4 - 4 × 20 3 3 - 12 4 4 + 4 × 12 3 3 = 24 + 1240 9 = 1456 9 = 161,78 .

Logo,

V a r X = E X 2 - E X 2 = 161,78 - 11,22 2 = 35,89 .

Resposta

Assim, a média é 1 1,22 e a variância é 35,89 .

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Considere a v.a. X do Problema 2 e Y = X + 5. Obtenha a densidade de Z = 2X.
Suponha que a v.a. X tenha a densidade do Problema 8. Se Y = 2X – 3/5, obter a densidade de Y. Calcule E(Y) e Var(Y).
Considere a v.a. X do Problema 2 e Y = X + 5. Obtenha a densidade de Y.
Suponha X ~ u[–1, 1]. Calcule a densidade de Y = X² e de W = |X|.
Suponha que a v.a. X tenha densidade f(x) = 1, para 0