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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 4

Suponha que o conjunto fundamental seja formado por todos os pontos ( x , y ) de coordenadas ambas inteiras, e que estejam dentro ou sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas x = 0 ,   y = 0 ,   x = 6 ,   y = 6 . Enumere os elementos dos seguintes conjuntos:

  1. A = { x , y /   x 2 + y 2 ≤ 6 }
  2. B = { x , y /   y ≤ x ² }
  3. C = { x , y /   x ≤ y ² }
  4. B ⋂ C

Passo 1

Fala aí, galera. Bora para mais essa questão. Primeiramente, precisamos entender a simbologia:

⋂ → i n t e r s e ç ã o

⋃ → u n i ã o

A - → c o n j u n t o   f u n d a m e n t a l   m e n o s   A

Agira, vamos destrinchar as relações dadas. Na letra a, teremos:

x 2 + y 2 ≤ 6

- 6 - y 2 ≤ x ≤ 6 - y 2

6 - y 2 ≥ 0

- 6 ≤ y ≤ 6

Como só queremos números inteiros e naturais:

0 ≤ y ≤ 2

Logo:

y = 0 → - 6 ≤ x ≤ 6 → 0 ≤ x ≤ 2

y = 1 → - 5 ≤ x ≤ 5 → 0 ≤ x ≤ 2

y = 2 → - 2 ≤ x ≤ 2 → 0 ≤ x ≤ 1

Portanto:

A = { 0,0 , 0,1 ,   0,2 ,   1,0 ,   1,1 ,   1,2 ,   2,0 ,   2,1 }

Passo 2

Para a letra b:

0 ≤ x ≤ 6   e 0 ≤ y ≤ 6

x = 0 → y = 0

x = 1 → y = 0

x = 2 → 0 ≤ y ≤ 4

3 ≤ x ≤ 6 → 0 ≤ y ≤ 6

Logo:

B = { 0,0 ,   1,0 ,   1,1 ,   2,0 ,   2,1 ,   2,2 ,   2,3 ,   2,4 ,   3,0 ,   3,1 ,   3,2 …

… 3,3 ,   3,4 ,   3,5 ,   3,6 ,   4,0 ,   4,1 ,   4,2 ,   4,3 ,   4,4 ,   4,5 ,   5,0 ,   5,1 ,   5,2 ,   5,3 ,   5,4 …

… 5,5 ,   5,6 ,   6,0 ,   6,1 ,   6,2 ,   6,3 ,   6,4 ,   6,5 ,   6,6

Passo 3

Para a letra c, teremos:

0 ≤ x ≤ 6   e 0 ≤ y ≤ 6

y = 0 → x = 0

y = 1 → x = 0

y = 2 → 0 ≤ x ≤ 4

3 ≤ y ≤ 6 → 0 ≤ x ≤ 6

3 ≤ y ≤ 6 → 0 ≤ x ≤ 6

Logo:

C = { 0,0 ,   1,0 ,   1,1 ,   2,0 ,   2,1 ,   2,2 ,   2,3 ,   2,4 ,   3,0 ,   3,1 ,   3,2 …

… 3,3 ,   3,4 ,   3,5 ,   3,6 ,   4,0 ,   4,1 ,   4,2 ,   4,3 ,   4,4 ,   4,5 ,   5,0 ,   5,1 ,   5,2 ,   5,3 ,   5,4 …

… 5,5 ,   5,6 ,   6,0 ,   6,1 ,   6,2 ,   6,3 ,   6,4 ,   6,5 ,   6,6

Passo 4

Agora, vamos analisar a letra d:

0 ≤ x ≤ 6 e 0 ≤ y ≤ 6

y ≤ x 2 ⋂ x ≤ y 2 = y ≤ x 2 ⋂ x ≤ y = x ≤ y ≤ x 2

x = 0 → y = 0

x = 1 → y = 1

x = 2 → 2 ≤ y ≤ 4

x = 3 → 2 ≤ y ≤ 6

x = 4 → 2 ≤ y ≤ 6

x = 5 → 3 ≤ y ≤ 6

x = 6 → 3 ≤ y ≤ 6

Logo:

B ⋂ C = { 0,0 ,   1,1 ,   2,2 ,   2,3 ,   2,4 ,   3,2 ,   3,3 ,   3,4 ,   3,5 ,   3,6 …

…     4,2 ,   0 , 3 ,   1 , 4 ,   2,3 ,   4,4 ,   4,5 ,   4,6 ,   5,3 ,   5,4 ,   5,5 ,   5,6 ,   6,3 ,   6,4 ,   6,5 ,   6,6 }

Resposta

  1. A = 0,0 , 0,1 ,   0,2 ,   1,0 ,   1,1 ,   1,2 ,   2,0 ,   2,1
  2. B = { 0,0 ,   1,0 ,   1,1 ,   2,0 ,   2,1 ,   2,2 ,   2,3 ,   2,4 ,   3,0 ,   3,1 ,   3,2 …

    3. … 3,3 ,   3,4 ,   3,5 ,   3,6 ,   4,0 ,   4,1 ,   4,2 ,   4,3 ,   4,4 ,   4,5 ,   5,0 ,   5,1 ,   5,2 ,   5,3 ,   5,4 …

    … 5,5 ,   5,6 ,   6,0 ,   6,1 ,   6,2 ,   6,3 ,   6,4 ,   6,5 ,   6,6

  3. C = { 0,0 ,   1,0 ,   1,1 ,   2,0 ,   2,1 ,   2,2 ,   2,3 ,   2,4 ,   3,0 ,   3,1 ,   3,2 …

    4. … 3,3 ,   3,4 ,   3,5 ,   3,6 ,   4,0 ,   4,1 ,   4,2 ,   4,3 ,   4,4 ,   4,5 ,   5,0 ,   5,1 ,   5,2 ,   5,3 ,   5,4 …

    … 5,5 ,   5,6 ,   6,0 ,   6,1 ,   6,2 ,   6,3 ,   6,4 ,   6,5 ,   6,6

  4. B ⋂ C = { 0,0 ,   1,1 ,   2,2 ,   2,3 ,   2,4 ,   3,2 ,   3,3 ,   3,4 ,   3,5 ,   3,6 …

…     4,2 ,   0,3 ,   1,4 ,   2,3 ,   4,4 ,   4,5 ,   4,6 ,   5,3 ,   5,4 ,   5,5 ,   5,6 ,   6,3 ,   6,4 ,   6,5 ,   6,6 }

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