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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 4

Suponha que f ( x ) = e - ( x - 4 ) para 4 < x . Determine as seguintes probabilidades:

  1. P ( 1 < X )
  2. P ( 2 ≤ X < 5 )
  3. P ( 5 < X )
  4. P ( 8 < X < 12 )
  5. Determine x tal que P ( X < x ) = 0.90

Passo 1

A função de densidade de probabilidade f da variável aleatória X é dada como:

f ( x ) = e - ( x - 4 ) ,   4 < x

Vamos calcular a probabilidade geral:

P ( a < X < b ) = ∫ a b e - ( x - 4 ) d x = e 4 ( e - a - e - b )

Agora, a gente vai aplicar esta fórmula nas letras a até d:

Passo 2

Letra a:

P ( X > 1 ) = P ( X > 4 ) = 1

Passo 3

Letra b:

P ( 2 ≤ X < 5 ) = P ( 4 < X < 5 ) = e 4 ( e - 4 - e - 5 ) = 0.6321

Passo 4

Letra c:

P ( X > 5 ) = e 4 ( e - 5 - 0 ) = 0.36788

Passo 5

Letra d:

P ( 8 < X < 12 ) = e 4 ( e - 8 - e - 12 ) = 0.018

Passo 6

Letra e:

Vamos escrever a igualdade:

0.9 = P ( X < x ) = 1 - e 4 - x

e resolver para x no intervalo de X :

x = 6.3

Resposta

  1. 1
  2. 0.6321
  3. 0.36788
  4. 0.018
  5. 6.3
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