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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 16

Suponha que os motores de um avião operem independentemente e falhem com igual probabilidade de 0,4. Assumindo que um avião realiza um voo seguro se pelo menos metade dos motores funcionar, determine se um avião com quatro motores ou um com dois motores tem maior probabilidade de um voo bem-sucedido.

Passo 1

Fala galera, estão prontos para descobrir qual desses aviões é mais seguro? Vem comigo, vamos descobrir!

A princípio, eu diria que o avião de quatro motores é mais seguro, mas é só um chute, vamos conferir com a matemática!

Primeiro, temos o nosso dado P f a l h a = 0.4

E também temos o dado de que: um avião faz um voo seguro se pelo menos metade dos motores funcionar.

Ou seja, no caso do avião com dois motores, no mínimo 1 deles tem de funcionar.

Já no caso do avião com quatro motores, no mínimo dois deles tem de funcionar.

Passo 2

Show! Com tudo isso definido vamos definir nossa variável aleatória X, que é a quantidade de motores que falham.

Para o caso de o avião com dois motores fazer uma viagem segura, ou não falha nenhum motor, ou falha apenas um.

Vamos modelar isso com a binomial

b x ; n ; p   o n d e   n = 2 ,   p = 0.4   e   q = 0.6

Assim, queremos P X ≤ 1

Usando um artificio matemático, também conhecido como (definições e teoremas):

P X ≤ 1 = ∑ x = 0 1 b x ; 2 ; 0.4 = P X = 0 + P ( X = 1 )

Lembrando que:

b x ; n ; p = n x p x q n - x

Agora podemos resolver

P X ≤ 1 = 2 0 0.4 0 0.6 2 + 2 1 0.4 1 0.6 1 = 0.48 + 0.36 = 0.84

Logo, a probabilidade de um avião bimotor não cair vale 84 % .

Passo 3

Vamos fazer um processo semelhante só que para o avião com quatro motores.

Lembremos da nossa variável aleatória X, que é o numero de motores que falham.

Para o caso de o avião com quatro motores fazer uma viagem segura, ou não falha nenhum motor, ou falha apenas um, ou falham dois.

Vamos modelar isso com a binomial

b x ; n ; p   o n d e   n = 4 ,   p = 0.4   e   q = 0.6

Assim, queremos P X ≤ 2

P X ≤ 2 = ∑ x = 0 2 b x ; 4 ; 0.4 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

Calculando isso, concluímos em:

P X ≤ 2 = 4 0 0.4 0 0.6 4 + 4 1 0.4 1 0.6 3 + 4 2 0.4 2 0.6 2

Logo,

P X ≤ 2 = 0.1296 + 0.3456 + 0.3456 = 0.8208

Ou seja, a probabilidade de um voo seguro com um avião de quatro motores é de 82,08 %

Contrariando o meu palpite, nas condições enunciadas o voo mais seguro seria com o avião bimotor. E aí, também se surpreendeu com o resultado?

Resposta

Um avião com dois motores tem maior probabilidade de um voo bem sucedido.

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