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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios Suplementares - Ex. 88

Suponha que a pontuação verbal X e a pontuação quantitativa Y de um indivíduo escolhido aleatoriamente em um exame de aptidão administrado nacionalmente tenham fdp conjunta.

f x , y = 2 5 2 x + 3 y               0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1 0                                               c a s o   c o n t r á r i o

Você é solicitado a fornecer uma previsão t da pontuação total do indivíduo X + Y . O erro de previsão é o erro médio quadrado E [ X + Y - t 2 ]. Que valor de t minimiza o erro de previsão?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O valor esperado pode ser calculado com a seguinte fórmula

E g X , Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ g ( x , y ) ∙ f ( x , y ) d x d y

Onde, p ( x , y ) é a fdp e f ( x , y ) a fmp. Então, bora calcular o que o enunciado nos pede!!!

Passo 2

Para g X , Y = X + Y - t 2 , o valor esperado é:

E X + Y - t 2 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y - t 2 ∙ f ( x , y ) d x d y

Derivando o valor esperado.

d d t ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y - t 2 ∙ f ( x , y ) d x d y

= - 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y ∙ f x , y d x d y + t ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d x d y

Onde, a segunda integral é igual a 1.

= - 2 E X + Y + t

Logo, igualando a zero, encontramos o valor mínimo de t .

t = 2 E ( X + Y )

Agora, precisamos calcular o valor esperado para a variável aleatória X + Y .

E X + Y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y ∙ f x , y d x d y

= 2 5 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y ∙ ( 2 x + 3 y ) d x d y

= 2 5 2 3 y + 5 4 y 2 + y 3 0 1

= 1,167

Finalmente, o valor que minimiza o erro é:

t = 2,3333

Resposta

t = 2,3333

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