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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios Suplementares - Ex. 86

Um aluno tem uma aula que supostamente termina às 9 h e outra que começa às 9h10. Suponha que a hora de término real da aula das 9 h seja uma va normalmente distribuída X 1 com média de 9h02 e desvio padrão de 1,5 min e que a hora de início da aula seguinte também seja uma va normalmente distribuída X 2 com média de 9h10 e desvio padrão de 1 min. Suponha também que o tempo necessário para sair de uma sala e chegar à outra seja uma va normalmente distribuída X 3 com média de 6 min e desvio padrão de 1 min. Qual é a probabilidade de o aluno chegar à segunda aula antes de ela começar? (Assuma independência de X 1 , X 2 , e X 3 , que é razoável se o aluno não prestar atenção à hora do término da primeira aula.)

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O aluno não se atrasará se a soma do tempo de término e do tempo necessário para trocar de sala for menor ou igual ao horário de início da próxima aula.

X 1 + X 3 ≤ X 2

Logo, a variável de interesse é:

X 1 + X 3 - X 2

Antes de encontrarmos a probabilidade, precisamos calcular o valor esperado e o desvio padrão.

O valor esperado é definido por:

E X 1 + X 3 - X 2 = E X 1 + E X 3 - E ( X 2 )

= 2 + 6 - 10

E X 1 + X 3 - X 2 = - 2

Calculando a variância.

V X 1 + X 3 - X 2 = E X 1 + E X 3 + - 1 2 E ( X 2 )

= 1,5 2 + 1 2 + 1 2

V X 1 + X 3 - X 2 = 4,25

Agora, o desvio padrão é a raiz da variância:

σ V 0 = 4,25 = 2,06

Por fim, podemos calcular a probabilidade pedida pelo enunciado.

P X 1 + X 3 ≤ X 2 = P X 1 + X 3 - X 2 ≤ 0

= P X 1 + X 3 - X 2 - E X 1 + X 3 - X 2 σ ≤ 0 - - 2 2,06

= P ( Z ≤ 0,97 )

P X 1 + X 3 ≤ X 2 = 0,834

Resposta

P X 1 + X 3 ≤ X 2 = 0,834

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