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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios Suplementares - Ex. 78

Sejam X 1 ,   X 2 ,   . . .   ,   X n variáveis aleatórias que representam n propostas independentes de um item que está à venda. Suponha que cada Xi seja uniformemente distribuído no intervalo [100, 200]. Se o vendedor vende pela oferta maior, quanto pode esperar ganhar com a venda? [Sugestão: seja Y = m a x ( X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n ) . Encontre primeiro F Y ( y ) , observando que Y ≤ y se e somente se cada X i for ≤ y . Então, obtenha a fdp e E Y . ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? As variáveis X 1 ,   X 2 ,   . . .   ,   X n são independentes com distribuição uniforme no intervalo [ 100 ,   200 ] .

A função de densidade de probabilidade é definida por:

f X x = 1 b - a = 1 200 - 100 = 0,01

Já a função de distribuição cumulativa é a integral da função de densidade de probabilidade.

F X x = ∫ 100 x f ( x ) d x = ∫ 100 x 0,01 d x

F X x = 0,01 x - 1

Agora, a função de distribuição cumulativa em y é a probabilidade à esquerda de y .

F Y y = P Y ≤ y = P m a x X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n = P ( X 1 ≤ y ,   X 2 ≤ y , … ,   X n ≤ y )

Como as varáveis são independentes, podemos usar a regra de multiplicação para eventos independentes.

F Y y = P X 1 ≤ y P X 2 ≤ y … P ( X n ≤ y )

= P X ≤ y n

= F X y n

F Y y = 0,01 y - 1 n

Para encontrarmos a fdp de Y derivamos a função acima:

f Y y = d d y F Y y = 0,01 n 0,01 y - 1 n - 1

Por fim, o valor esperado é a integral sobre todos os valores possíveis multiplicados pela fdp.

E Y = ∫ - ∞ ∞ y f Y ( y ) d y = ∫ 100 200 0,01 n y 0,01 y - 1 n - 1 d y

= 100 n 0,01 y - 1 n + 1 n + 1 + 0,01 y - 1 n n 100 200

E Y = 100 2 n + 1 n + 1

Resposta

E Y = 100 2 n + 1 n + 1

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