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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 48

Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média de 5 e um desvio-padrão de 4. Determine o valor de x que resolve cada um dos seguintes itens:

  1. P ( X > x ) = 0.5
  2. P ( X > x ) = 0.95
  3. P ( x < X < 9 ) = 0.2
  4. P ( 3 < X < x ) = 0.95
  5. P ( - x < X - 5 < x ) = 0.99

Passo 1

Temos os seguintes dados:

M é d i a =   5

D e s v i o   p a d r ã o   =   4

Na letra a:

A Tabela I I I contém apenas a probabilidade à esquerda dos valores de z e seus correspondentes valores de x . Vamos reescrever a probabilidade dada:

P ( X < x ) = 1 - P ( X > x ) = 1 - 0.5 = 0.5

Agora, vamos determinar o valor de z que tem uma probabilidade de 0.5 (ou a probabilidade mais próxima) na tabela III:

z = 0

O valor correspondente de x é a média aumentada pelo produto do valor de z   e o desvio padrão:

x = μ + z σ = 5 + 0 ( 4 ) = 5

Passo 2

Na letra b:

A Tabela I I I contém apenas a probabilidade à esquerda dos valores de z e seus correspondentes valores de x . Vamos reescrever a probabilidade dada:

P ( X < x ) = 1 - P ( X > x ) = 1 - 0.95 = 0.05

Agora, vamos determinar o valor de z que tem uma probabilidade de 0.5 (ou a probabilidade mais próxima) na tabela III:

z = - 1.64

O valor correspondente de x é a média aumentada pelo produto do valor de z   e o desvio padrão:

x = μ + z σ = 5 - 1.64 ( 4 ) = - 1.56

Passo 3

Na letra c:

A Tabela I I I contém apenas a probabilidade à esquerda dos valores de z e seus correspondentes valores de x . Vamos reescrever a probabilidade dada e avaliar as probabilidades usando a tabela III:

0.2 = P ( x < X < 9 ) = P ( X < 9 ) - P ( X < x ) = P ( Z < 1.00 ) - P ( X < x ) = 0.841345 - P ( X < x )

Daí, resolvemos a equação para P ( X < x ) :

P ( X < x ) = 0.841345 - 0.2 = 0.641345

Agora, vamos determinar o valor de z que tem uma probabilidade de 0.641345 (ou a probabilidade mais próxima) na tabela III:

z = 0.36

O valor correspondente de x é a média aumentada pelo produto do valor de z   e o desvio padrão:

x = μ + z σ = 5 + 0.36 ( 4 ) = 6.44

Passo 4

Na letra d:

A Tabela I I I contém apenas a probabilidade à esquerda dos valores de z e seus correspondentes valores de x . Vamos reescrever a probabilidade dada e avaliar as probabilidades usando a tabela III:

0.95 = P ( 3 < X < x ) = P ( X < x ) - P ( X < 3 ) = P ( X < x ) - P ( Z < - 0.5 ) = P ( X < x ) - 0.308538

Daí, resolvemos a equação para P ( X < x ) :

P ( X < x ) = 0.308538 + 0.95 = 1.258538

A probabilidade não pode ser maior do que 1 e, portanto, não existe um valor de x para o qual a igualdade mencionada é satisfeita.

Passo 5

Na letra e:

X - 5 é normalmente distribuído com média μ - 5 = 5 - 5 = 0 e desvio padrão σ = 4

A Tabela I I I contém apenas a probabilidade à esquerda dos valores de z e seus correspondentes valores de x . Vamos reescrever a probabilidade dada e avaliar as probabilidades usando a tabela III:

0.99 = P ( - x < X - 5 < x ) = 1 - 2 P ( X - 5 < - x )

Daí, resolvemos a equação para P ( X - 5 < x ) :

P ( X - 5 < - x ) = 1 - 0.99 2 = 0.005

Agora, vamos determinar o valor de z que tem uma probabilidade de 0.005 (ou a probabilidade mais próxima) na tabela III:

z = - 2.58

O valor correspondente de x é a média aumentada pelo produto do valor de z   e o desvio padrão:

- x = μ + z σ = 0 - 2.58 ( 4 ) = - 10.32

Multiplicando cada lado da equação por -1 temos:

x = 10.32

Resposta

  1. 5
  2. -1.56
  3. 6.44
  4. não existe
  5. 10.32
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