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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 27

Suponha que o tamanho (em micrômetros) de uma partícula de contaminação possa ser modelado como f ( x ) = 2 x - 3 para 1 < x . Determine a média de X .

Passo 1

Seja a função de densidade de probabilidade f da variável aleatória X fornecida:

f ( x ) = 2 x - 3 , 1 < x

Suponha que X seja uma variável aleatória contínua, com uma função densidade de probabilidade f ( x ) . A média, ou o valor esperado de X , denotados por μ ou E ( X ) , são:

μ = E ( X ) = ∫ - ∞ ∞ x f ( x ) d x

A variância de X , denotada por V ( X ) ou σ 2 é:

σ 2 = V ( X ) = ∫ - ∞ ∞ ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ - ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x - μ 2

Passo 2

Sabendo disso, vamos calcular o que se pede:

E ( X ) = ∫ 1 ∞ 2 x 3 x d x = ∫ 1 ∞ 2 x 2 d x = 2 × x - 1 - 1 | x = ∞ x = 1 = 2

E ( X 2 ) = ∫ 1 ∞ 2 x 3 x 2 d x = ∫ 1 ∞ 2 x d x

A última integral não existe (diverge), portanto, a variância não existe também.

Resposta

Média= 2, Variância= ∞ (não existe)

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