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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 11b

Suponha que o tempo, em meses, para a recupereção de pacientes submetidos a um certo tipo de cirurgia do aparelho digestivo pode ser modelado por uma variável aleatória contínua X ,   cuja função densidade de probabilidade é dada por:

f x = 1 3 ,     0 ≤ x ≤ 1 ; - 1 12 x + 5 12 ,       1 < x ≤ 5 ; 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Calcule o desvio padrão.

Passo 1

Anes de mais nada, sabemos que o desvio padrão é dado por:

σ = σ 2

Onde σ 2 é o que chamamos de variância da estatística.

Essa variância, podemos calcular da seguinte forma:

σ 2 = E X 2 - μ 2

Onde μ = E ( X ) .

Passo 2

Na alternativa A, encontramos:

E X = μ = 1,722   m e s e s

Portanto, para obter a variância a gente só precisa de E ( X 2 ) , e:

E X 2 = ∫ - ∞ + ∞ x 2   f x d x

Abrindo a integral:

E X 2 = ∫ - ∞ 0 x 2 f x d x + ∫ 0 1 x 2 f x d x + ∫ 1 5 x 2 f x d x + ∫ 5 + ∞ x 2 f x d x

E então:

E X 2 = 1 3 ∫ 0 1 x 2 d x ⏟ I 1 - 1 12 ∫ 1 5 x 3 d x ⏟ I 2 + 5 12 ∫ 1 5 x 2 d x ⏟ I 3

Passo 3

Muito recomendado resolver cada integral separadamente para não se perder:

I 1 = 1 3 ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 1 3 = 1 9

A próxima:

I 2 = 1 12 ∫ 1 5 x 3 d x = 1 12 5 4 - 1 4 4 = ( 5 4 - 1 ) 48 = 13

E

I 3 = 5 12 ∫ 1 5 x 2 d x = 5 12 5 3 - 1 3 3 = 620 36 = 17,22

Portanto:

E x 2 = 1 9 + 17,22 - 13 ≅ 4,33

Ou seja, nossa variância será:

σ 2 = 4,33 - 1,722 2

σ 2 ≅ 1,37   m e s e s 2

Mas, não se esqueça que na verdade estamos buscando o desvio padrão:

σ = 1,37 ≅ 1,17   m e s e s

Resposta

(b) σ = 1,17   m e s e s

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