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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 18

Dois amigos planejam um encontro entre 20   e   21 horas. Um deles é pontual e pretende chegar às 20 : 30 horas e esperar por exatos 15   minutos. O outro é mais imprevisível e poderá chegar em qualquer momento do intervalo inicialmente previsto, saindo imediatamente se não encontrar o amigo.

Qual é a probabilidade de eles se encontrarem? Qual é a probabilidade deles não se encontrarem por um lapso de no máximo 5 minutos?

Passo 1

Antes de qualquer coisa, nesse tipo de exercícios é sempre bom começarmos definindo quem é o diaxo da nossa variável, seja então:

X = t e m p o   a t é   a   c h e g a d a   d o   a m i g o   i m p r e v i s í v e l   a   p a r t i r   d a s   20 h ( e m   m i n u t o s ) .

Perceba que a probabilidade de ele chegar em qualquer momento a partir das 20 h   é a mesma no intervalo 0 ; 60   , portanto podemos dizer que:

X ~ U n i f o r m e 0 ; 60

E disso, sabemos que a função densidade de probabilidade será dada por:

f x = 1 60 - 0 ,     s e     0 ≤ x ≤ 60 0 ,           c a s o   c o n t r á r i o .

Passo 2

Então, num primeiro momento queremos encontrar qual a chance do amigo chegar entre 30     e     45   minutos após as 20 h (pois é nesse espaço de tempo que o outro amigo estará lá e essa é a única chance de eles se encontrarem).

Ou seja, queremos encontrar: P 30 ≤ x ≤ 45

E faremos isso da seguinte forma:

P 30 ≤ x ≤ 45 = ∫ 30 45 1 60 d x = 1 60 15 = 1 4

Passo 3

Perfeito, agora na letra B queremos saber qual a chance de eles não se encontrarem por um delay de 5 minutos por parte do amigo imprevisível; isso só acontecerá se ele chegar 5 minutos antes do Sr. Pontual, ou 5 minutos depois que o amigão desistir de esperar.

Lembrando que o amigo pontual ficará esperando das 20 : 30   a t é   a s   20 : 45 .

Isso significa que buscamos a seguinte probabilidade:

P ( 25 ≤ x < 30     o u     45 < x ≤ 50 )

Se os eventos são independentes, basta somar então:

P 25 ≤ x ≤ 30     o u     45 ≤ x ≤ 50 = P 25 ≤ x < 30 + P ( 45 < x ≤ 50 )

Bora la então:

P 25 ≤ x < 30 = ∫ 25 30 1 60 d x = 1 60 30 - 25 = 1 12

E

P 45 < x ≤ 50 = ∫ 45 50 1 60 d x = 1 60 50 - 45 = 1 12

Portanto, facilmente:

P 25 ≤ x ≤ 30     o u     45 ≤ x ≤ 50 = 1 6

Resposta

Tranquilamente, podemos afirmar que:

(a) P 30 ≤ x ≤ 45 = 0,25

(b) P 25 ≤ x ≤ 30     o u     45 ≤ x ≤ 50 = 0,167

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