Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 12
A trava de segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com frequência, de modo a evitar a quebra do vidro devido ao fim da sua vida útil. Estudos anteriores admitem que essa vida útil pode ser representada por uma variável aleatória contínua, assumindo valores entre ano. Sua densidade é a seguinte:
- Calcule a probabilidade da vida útil ser superior a seis meses.
- Determine a vida útil média.
Passo 1
Beleza, perceba que a nossa variável é exatamente o tempo de validade, mas dado em anos; Portanto para 6 meses, devemos tomar .
Ou seja, na alternativa A buscamos a seguinte probabilidade:
Agora lembre-se de que, para uma variável contínua, relacionamos a probabilidade com a área de uma curva; então dizemos o seguinte:
Onde é a função densidade de probabilidade.
Passo 2
Portanto, na letra A teremos:
Podemos “separar” isso em intervalos:
Como a função densidade é zero para
Então nos resta:
É so integrar esse trem ai:
Finalmente:
Passo 3
(b) sabemos que a média é na verdade o valor esperado de uma variável, então:
Quebrando isso em intervalos:
E ficamos com:
Com muita calma, é só resolver issaê:
Resposta
Portanto:
(a)
(b)