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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 76

Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com λ = 2 . Determine o seguinte:

  1. P ( X ≤ 0 )
  2. P ( X ≥ 2 )
  3. P ( X ≤ 1 )
  4. P ( 1 < X < 2 )
  5. Encontre o valor de x tal que P ( X < x ) = 0.05

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o parâmetro λ = 2 . É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x = 2 e - 2 x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x = 1 - e - 2 x , x   ≥   0

Daí, vamos calcular a letra a até d:

Letra a:

P ( X ≤ 0 ) = P ( X = 0 ) = 0

Passo 2

Letra b:

P ( X ≥ 2 ) = 1 - P ( X ≤ 2 ) = 1 - F ( 2 ) = e - 2 × 2 = 0.0183

Passo 3

Letra c:

P ( X ≤ 1 ) = F ( 1 ) = 1 - e - 2 × 1 ≈ 0.865

Passo 4

Letra d:

P ( 1 < X < 2 ) = F ( 2 ) - F ( 1 ) = e - 2 × 1 - e - 2 × 2 = 0.117

Passo 5

Letra e:

Vamos escrever a equação:

0.05 = P ( X < x ) = F ( x ) = 1 - e - 2 × x

E resolver para obter x :

x =   - 1 2 l n 0.95 = 0.0256

Resposta

  1. 0
  2. 0.0183
  3. 0.865
  4. 0.117
  5. 0.0256
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