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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 86

O número de aparições de cegonhas em uma rota na Carolina do Sul segue um processo de Poisson, com uma média de 2.3 por ano.

  1. Qual é o tempo médio entre as aparições?
  2. Qual é a probabilidade de não haver aparições dentro de três meses (0.25 anos)?
  3. Qual é a probabilidade de que o tempo até a primeira aparição exceda seis meses?
  4. Qual é a probabilidade de não haver aparições dentro de três anos?

Passo 1

Seja X   a variável aleatória exponencial decorrente do processo de Poisson com a taxa λ = 2.3 aparições por ano. Sua função de distribuição cumulativa é então dado por:

F ( x ) = 1 - e - 2.3 x , x ≥ 0

X pode ser interpretado como o tempo aleatório da primeira aparição.

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular a média da variável aleatória X :

E ( X ) = 1 2.3 = 0.43   a n o s

Passo 3

Letra b:

P ( X > 0.25   a n o s ) = 1 - F ( 0.25 ) = e - 2.3 × 0.25   ≈   0.56

Passo 4

Letra c:

Seis meses são 0.5 anos, então podemos calcular:

P ( X > 0.5   a n o s ) = 1 - F ( 0.5 ) = e - 2.3 × 0.5 ≈ 0.32

Passo 5

Letra d:

P ( X > 3   a n o s ) = 1 - F ( 3 ) = e - 2.3 × 3   ≈   0.001

Resposta

  1. 0.43 anos
  2. 0.56
  3. 0.32
  4. 0.001
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