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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 28

Suponha que as variáveis ​​aleatórias X, Y e 2 tenham a função de densidade de probabilidade conjunta sobre o cilindro .r2 y2

Determine o seguinte:

Passo 1

Sejam as variáveis ​​aleatórias X, Y e Z e que elas tenham a função de densidade de probabilidade conjunta f x y z ( x , y , z ) = c sobre o cilindro x 2 + y 2 < 4 e 0 < z < 4 .

Vamos calcular a constante c de modo que f x y z ( x , y , z ) seja uma função de densidade de probabilidade.

Primeiro, vamos mudar o sistema de coordenadas para coordenadas cilíndricas, x = ρ c o s ϕ e y = ρ s i n ϕ .

A função de massa de probabilidade conjunta deve ser

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ρ f ρ ϕ z ( ρ , ϕ , z ) d ρ d ϕ d z = 1

Então,

∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ f ρ ϕ z ( ρ , ϕ , z ) d ρ d ϕ d z = 1

∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ c d ρ d ϕ d z = 1

c ( ∫ 0 4 ∫ 0 2 π ρ 2 2 2 0 d ϕ d z ) = 1

2 c ( ∫ 0 4 ϕ 2 π 0 d z ) = 1

2 c ( 2 π ) ( z 4 0 ) = 1

16 c π = 1

c = 1 16 π

Passo 2

Letra a:

Vamos encontrar P ( X 2 + Y 2 < 2 )

P ( X 2 + Y 2 < 2 ) = ∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ f ρ ϕ z ( ρ , ϕ , z ) d ρ d ϕ d z =

= 1 16 π ∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ d ρ d ϕ d z =

= 1 16 π ( ∫ 0 4 ∫ 0 2 π ρ 2 2 2 0 d ϕ d z ) =

= 1 16 π ( ∫ 0 4 ϕ 2 π 0 d z ) =

= 1 16 π ( 2 π ) ( z 4 0 ) =

= 1 2

Passo 3

Letra b:

Vamos determinar P ( Z < 2 ) .

P ( Z < 2 ) = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ f ρ ϕ z ( ρ , ϕ , z ) d ρ d ϕ d z =

= 1 16 π ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ d ρ d ϕ d z =

= 1 16 π ( ∫ 0 2 ∫ 0 2 π ρ 2 2 2 0 d ϕ d z ) =

= 1 8 π ( ∫ 0 2 ϕ 2 π 0 d z ) =

= 1 8 π ( 2 π ) ( z 2 0 ) =

= 1 2

Passo 4

Letra c:

Vamos encontrar E ( X ) :

E ( X ) = ∫ - 2 2 x f x ( x ) d x =

= ∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ 2 c o s ϕ f ρ ϕ z ( ρ , ϕ , z ) d ρ d ϕ d z =

= 1 16 π ∫ 0 4 ∫ 0 2 π ρ 3 3 2 0 c o s ϕ d ϕ d z =

= 1 2 π ∫ 0 4 ∫ 0 2 π c o s ( ϕ ) d ϕ d z =

= 1 2 π ( ∫ 0 4 s i n ϕ 2 π 0 d z ) =

= 0

Passo 5

Letra d:

Vamos determinar P ( X < 1 | Y = 1 )

P ( X < 1 | Y = 1 ) = P ( X < 1 , Y = 1 ) P ( Y = 1 )

= ∫ - 3 1 ( ∫ 0 4 1 16 π d z ) d x ∫ - 3 3 ( ∫ 0 4 1 16 π d z ) d x =

= 4 ( 1 + 3 ) 4 ( 2 3 ) =

= 1 + 3 2 3 =

= 0.7887

Passo 6

Letra e:

Vamos calcular P ( X 2 + Y 2 < 1 | Z = 1 )

P ( X 2 + Y 2 < 1 | Z = 1 ) = P ( X 2 + Y 2 < 1 , Z = 1 ) P ( Z = 1 ) =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ f ρ ϕ z ( ρ , ϕ , z ) d ρ d ϕ ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ f ρ ϕ z ( ρ , ϕ , z ) d ρ d ϕ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 16 π ρ d ρ d ϕ ∫ 0 2 π ∫ 0 2 1 16 π ρ d ρ d ϕ =

= 1 4

Passo 7

Letra f:

Vamos determinar a distribuição de probabilidade condicional de Z dado que X = 1 e Y = 1 .

f Z | X = 1 , Y = 1 ( z ) = f X Y Z ( x , y , z ) f X Y ( x , y ) =

= 1 16 π ∫ 0 4 1 16 π d z =

= 1 4 ,   p a r a   0 < z < 4 .

Resposta

  1. 1 2
  2. 1 2
  3. 0
  4. 0.7887
  5. 1 4
  6. 1 4
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