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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 26

Prove que E(E(X|Y)) = E(X).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para pegar o que aconteceu lá na combinação das variáveis e encontrar provar a relação das esperanças condicionais. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a fórmula da esperança individual de X. Voltando lá na teoria, vemos que:

E (X) = int x . f (x) d x

E a expressão que define uma esperança condicionada é dada por:

E ( X // Y ) = int x . f (x // y) ( x // y ) d x

Passo 3

Pronto!! Agora é só calcular a esperança condicional!!

E [ E ( X // Y ) ] = E [ g (y) ] = int g ( y ) . f (y) d y

E [ E ( X // Y ) ] = int [ int x . f ((x)/(y)) ((x)/(y)) d x ] . f (y) d y

E [ E ( X // Y ) ] = int x . f (x) d x

Resposta

E [ E ( X // Y ) ] = int x . f (x) d x

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