A tabela seguinte apresenta dados concernentes a pontos feitos pelo principal jogador (quarterback) de ataque de futebol americano durante o ano de 2004 da Liga Nacional de Futebol Americano (fonte: The Sports Network). Suspeitou-se de que a pontuação ( y ) estivesse relacionada ao número médio de jardas conquistadas por passagem ( x ) .

a) Calcule as estimativas de mínimos quadrados da inclinação e da interseção. Qual é a estimativa de σ 2 ?

b) Encontre uma estimativa da pontuação média se o jogador principal faz uma média de 7,5 jardas por tentativa.

c) Que mudança na pontuação média está associada com uma diminuição de uma jarda por tentativa?

d) Para aumentar a pontuação média por 10 pontos, qual tem de ser o aumento gerado nas jardas médias por tentativas?

e) Dado que x = 7,21 jardas (M. Vick), encontre o valor ajustado de y e o resíduo correspondente.

Passo 1

Pronto pra resolver essa questão comigo?

Bora lá!

Letra a)

Para as estimativas de mínimos quadrados, partimos da seguinte equação:

y i = β ^ 0 + β ^ 1 x

Calculando β ^ 1 :

β ^ 1 = S x y S x x

Sendo:

S x x = ∑ x i 2 - ∑ x i 2 n

S x x = 21,106

E

S x y = ∑ x i y i - ∑ x i ⋅ ∑ y i n

S x y = 267,037

Assim:

β ^ 1 = - 267,037 21,106

β ^ 1 = 12,652

Calculando β ^ 0 :

β ^ 0 = ∑ y i n - β ^ 1 ∑ x i n

β ^ 0 = - 5,56

Assim, nossa equação fica:

y ^ = - 5,56 + 12,652 x

Calculando σ 2 :

σ 2 = S Q E n - 2 = 1 n - 2 ⋅ ∑ y i 2 - ∑ y i 2 n -   β ^ 0 ∑ y i + β ^ 1 ∑ x i y i - ∑ y i 2 n

σ 2 = 913,72 30 - 2 = 32,6

Passo 2

Letra b)

Para x = 7,5 , temos:

y ^ = - 5,56 + 12,652 ⋅ 7,5

y ^ = 89,33

Passo 3

Letra c)

Se a pontuação média diminuísse 1 jarda por tentativa, teríamos

x - = 7,32 - 1 = 6,32

Assim:

y ^ = - 5,56 + 12,652 ⋅ 6,32

y ^ = 74,40

A pontuação média atual tem o valor de:

y - = 87

Então, teríamos uma mudança de:

y - - y ^ = 87 - 74,4

y - - y ^ = 12,6

Passo 4

Letra d)

A atual pontuação média é de:

y - = 87,03

Aumentando esse valor por 10 pontos:

y ' = 97,03

Devemos possuir um número de jardas médio de:

97,03 = - 5,56 + 12,652 ⋅ x

x ' = 8,11

Atualmente possuímos um número de jardas médio de:

x - = 7,32

Assim, devemos aumentar:

x ' - x - = 8,11 - 7,32

x ' - x - = 0,79

Passo 5

Letra e)

Para x = 7,21 , temos:

y ^ = - 5,56 + 12,652 ⋅ 7 , 21

y ^ = 85,66

Na tabela dada, temos:

y 7,21 = 78,1

Assim:

e i = y ^ - y ( 7,21 )

e i = 85,66 - 78,1

e i = 7,56

Te espero na próxima questão!

Resposta

β ^ 1 = 12,652

β ^ 0 = - 5,56

σ 2 = 32,6

y ^ = 89,33

y - - y ^ = 12,6

x ' - x - = 0,79

e i = 7,56

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