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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 51

Se X e Y têm uma distribuição normal bivariada com rho =0, mostre que X e Y são independentes

Passo 1

X e Y têm uma distribuição normal bivariada com ρ = 0

A distribuição normal bivariada da função de densidade é

f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 - ρ 2 e x p { - 1 2 ( 1 - ρ 2 ) [ ( x - μ 1 ) 2 σ 2 1 - 2 ρ ( x - μ 1 ) ( y - μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y - μ 2 ) 2 σ 2 2 ] } ,   o n d e   ( - ∞ < x < ∞ , - ∞ ) < y ∞

Passo 2

Se ρ = 0 , então:

f X Y ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 [ - 1 2 ( x - μ 1 σ 1 ) 2 + ( y - μ 2 σ 2 ) ] = f 1 ( x ) f 2 ( y )

Portanto, X e Y são independentes se ρ   = 0

Resposta

Portanto, X e Y são independentes se ρ   = 0

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