Enunciado

O tempo de corrosão, em anos, de uma certa peça metálica é uma variável com densidade:

f x = a x ,         0 ≤ x ≤ 1 ; a ,         1 < x ≤ 2 ; - a x + 3 a ,           2 < x ≤ 3 ; 0 ,         c a s o   c o n t r á r i o .

  1. Calcule a constante a .
  2. Uma peça é considerada como tendo boa resistência à corrosão se dura mais do que 1,5   a n o s . Em um lote de 3 peças, qual a probabilidade de termos exatamente 1 delas com boa resistência??

Passo 1

Sabendo que X é a nossa variável contínua com função densidade de probabilidade igual ao f ( x ) , temos uma propriedade muito interessante sobre essa função; ela diz o seguinte:

∫ - ∞ + ∞ f x d x = 1

Em outras palavras isso significa que a área abaixo da curva f ( x ) é 1.

Se abrirmos aquele integral em intervalos:

∫ - ∞ 0 f x d x + ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 2 f x d x + ∫ 2 3 f x d x + ∫ 3 + ∞ f x d x = 1

Sabendo que f x = 0 quando x < 0     o u     x > 3 , ficamos com:

∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 2 f x d x + ∫ 2 3 f x d x = 1

Passo 2

Substituindo f ( x ) para cada intervalo:

∫ 0 1 a x   d x ⏟ I 1 + ∫ 1 2 a   d x ⏟ I 2 + ∫ 2 3 - a x + 3 a d x = 1

As duas primeiras integrais saem de graça, certo?

I 1 = a x 2 2 1 0 = a 2

E

I 2 = a x 2 1 = a

Já na ultima talvez convenha dividir em duas para facilitar a visualização:

∫ 2 3 - a x   d x + ∫ 2 3 3 a   d x = - a x 2 2 3 2 + 3 a x 3 2 = a 2

Retomando:

a 2 + a + a 2 = 2 a

E portanto:

2 a = 1 → a = 1 2

Passo 3

Lembra da regrinha do “e” / “ou”, multiplica/soma??

Se eu tenho 3 peças, e quero exatamente uma com boa resistência, então na verdade eu quero uma com boa resistência E outra sem resistência E outra sem resistência. Capithe?

Se quando eu uso “e” vou multiplicar, basta que seja assim:

P B o a   r e s i s t e n c i a   .   P s e m   r e s i s t e n c i a   .   P ( s e m   r e s i s t e n c i a )

Como uma peça é considerada boa quando x > 1,5 basta tomar a probabilidade de isso acontecer:

P X > 1,5   .     P X ≤ 1,5   .   P ( X ≤ 1,5 )

Seja :

P X > 1,5 = ∫ 1,5 + ∞ f x d x = ∫ 1,5 2 a   d x + ∫ 2 3 - a x + 3 a d x =

Lembando que a = 1 2 ,

P X > 1,5 = 1 2 2 - 1,5 - 1 2 3 2 2 - 2 2 2 + 3 2 3 - 2 = 1 4 - 5 4 + 3 2

A chance de termos uma peça com boa resistência é de:

P X > 1,5 = 0,5 = 50 %

E

P X ≤ 1,5 = ∫ - ∞ 1,5 f x d x

Não precisa nem resolver, se a chance de ter uma boa é 0,5 com certeza a chance de ter uma ruim também é 0,5 .

P X ≤ 1,5 = 0,5

Já que queremos:

P X > 1,5 .   P X ≤ 1,5   .   P X ≤ 1,5 = 0,5 0,5 0,5 = 0,125

Resposta

Concluindo:

  1. a = 1 2
  2. A probabilidade de termos exatamente uma peça com boa resistência, dentre 3, é de 12,50 % .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Certa liga é formada pela mistura fundida de dois metais. A liga resultante contém certa porcentagem de chumbo, X, que pode ser considerada uma v.a. com f.d.p. f ( x ) = 3 5 1 0 - 5 x ( 100 - x ) ,0 ≤
Suponha que X tenha f.d.p. f(x) do Problema 1. Calcule E(X) e Var(X).
A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do produto. Suponha que T seja considerada uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo 150 ,300
Considere a situação do Exercício de revisão 3.77, mas suponha que a distribuição conjunta das duas proporções seja dada por f y = 6 x 2 , 0x 1x 21 0 ,c a s oc o n t r á r i o á (a) Dê a distribuição
Uma empresa de seguros oferece a seus segurados inúmeras opções de pagamento de prêmio. Para um seguro selecionado aleatoriamente, considere X o número de meses entre pagamentos sucessivos. A função d