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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 22

O tempo, em minutos, de utilização de um caixa eletrônico por clientes de um certo banco, foi modelado por uma variável T com densidade exponencial (3).

Determine:

(a) P ( T < 1 )

(b) P T > 1 T ≤ 2 )  

(c) Um número a tal que P T ≤ a = 0,4

Passo 1

Antes de tudo vimos que um modelo exponencial possui a seguinte função densidade:

f x = α e - α x ,         x ≥ 0 0 ,           c a s o   c o n t r á r i o

No nosso exercício temos o seguinte: T ~ E x p ( 3 ) , ou seja α = 3

Então a nossa função densidade de probabilidade para o tempo, em minutos, do uso de um caixa eletrônico, será dada por:

f T = 3 e - 3 T ,             T ≥ 0     0 ,           c a s o   c o n t r á r i o

Alem disso, lembre-se sempre, que para uma variável contínua relacionamos a probabilidade com a área de uma curva; então dizemos o seguinte:

P a ≤ x ≤ b = ∫ a b f x d x

Onde f ( x ) é a função densidade de probabilidade.

Bora começar então:

  1. Vamos ter:

    2. P T < 1 = ∫ 0 1 3 e - 3 T d T

    Por troca de variáveis, chamando u = - 3 T , encontramos:

    P T < 1 = - e - 3 T 1 0 = 1 - e - 3

    Passo 2

  2. Agora na alternativa B, é um bocado diferente, pois temos uma probabilidade condicional; o que ela ta dizendo é o seguinte, sabendo que T é menor do que dois, qual a chance de ele ser maior do que 1?

    3. Lembrando que para isso existe uma formulazinha:

    P T > 1 T ≤ 2 ) = P T > 1 ∩ T ≤ 2 P T ≤ 2 = P ( 1 < T ≤ 2 ) P ( T ≤ 2 )

    Perceba que basta calcularmos o seguinte:

    P 1 < T ≤ 2 = ∫ 1 2 3 e - 3 T d T

    Na alternativa A descobrimos que essa integral é - e - 3 T , então só precisamos aplicar os limites:

    = - e - 3 t 2 1 = e - 3 - e - 6

    E

    P T ≤ 2 = ∫ 0 2 3 e - 3 T d T = - e - 3 T 2 0 = 1 - e - 6

    Substituindo na formulinha devolta:

    P T > 1 T ≤ 2 ) = ( e - 3 - e - 6 ) ( 1 - e - 6 )

    Batendo na calculadora:

    P T > 1 T ≤ 2 ) = 0,047

    Passo 3

  3. Por último, temos de encontrar um a qualquer, tal que:

P T ≤ a = 0,4

Ou seja,

P T ≤ a = ∫ 0 a 3 e - 3 T d T = - e - 3 T a 0

Portanto:

1 - e - 3 a = 0,4

e - 3 a = 0,6

Tacando l n dos dois lados:

- 3 a = ln ⁡ 0,6

Logo,

a = 0,170

Resposta

(a) P T < 1 = 0,950

(b) P T > 1 T ≤ 2 ) = 0 , 047

(c) a = 0,170  

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