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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 7

O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória contínua X’ que tem função de densidade

f x = x ,                                               0 < x < 1 2 - x ,                               1 ≤ x < 2 0 ,                         c a s o   c o n t r á r i o

Determine a probabilidade de que, durante o período de um ano, a família use o aspirador

(a) menos de 120 horas;

(b) entre 50 e 100 horas.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A probabilidade que queremos encontrar é que a família use o aspirador por menos de 120 horas, como a unidade de medidas é de 100 horas, a probabilidade é definida por:

P X < 120 100 = P X < 1,2

Sendo assim, temos que a probabilidade é:

P X < 1,2 = ∫ 0 1,2 f ( x ) d x

= ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 1,2 f ( x ) d x

= ∫ 0 1 x d x + ∫ 1 1,2 ( 2 - x ) d x

= x 2 2 0 1 + 2 x - x 2 2 1 1,2

= 1 2 - 0 + 2 1,2 - 1,2 2 2 - 2 1 + 1 2 2

P X < 1,2 = 0,68

Sendo assim, a probabilidade de que a família use o aspirador por menos de 120 horas é 0,68 .

Passo 3

De forma similar a letra (a), a probabilidade aqui é:

P 50 100 < X < 100 100 = P 0,5 < X < 1

Logo, temos que a probabilidade é:

P 0,5 < X < 1 = ∫ 0,5 1 f ( x ) d x

= ∫ 0,5 1 x d x

= x 2 2 0,5 1

= 1 2 2 - 0,5 2 2

P 0,5 < X < 1 = 0,375

Portanto, a probabilidade de o uso do aspirador seja entre 50 e 100 horas é 0,375 .

Resposta

a) 0,68

b) 0 , 375

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