Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 27
O tempo de reação de uma pessoa a certa droga é considerado uma variável aleatória com média minutos e desvio padrão minutos. Esse tempo foi medido em uma amostra de pessoas escolhidas, sem reposição, na cidade de São Paulo. Pergunta-se a probabilidade de:
a) O tempo médio amostral ser inferior a ?
b) O tempo médio na amostra não difereir da verdadeira média por mais de ?
Passo 1
Vamos supor que o tempo de reação de cada pessoa na amostra é , com . Sabemos que a média de cada uma dessas variáveis aleatórias é e o desvio padrão é . Vamos considerar o tempo médio amostral:
Sabemos que
Portanto,
Passo 2
Conforme o número de termos das amostra cresce, a distribuição de se aproxima de uma distribuição normal:
No item (a), queremos a probabilidade para que :
Assim,
Portanto,
Bom, mas sabemos que
pois a probabilidade de ser negativo é . Olhando na tabela do apêndice A no final do livro, achamos que
Assim,
Portanto,
Passo 3
Agora vamos para o item (b)! Sabemos que a verdadeira média é
Para que o valor médio da amostra não difira da verdadeira média por mais de , devemos ter
Assim,
Logo,
Com isso,
Assim,
Pela simetria da distribuição:
Olhando a tabela no final do livro:
Assim,
Portanto,