Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 31
Sendo , pergunta-se:
a) Para uma amostra de observações dessa variável qual é a probabilidade da média amostral ser superior a ? Justifique.
b) Para uma amostra de observações dessa variável qual é a probabilidade da média amostral ser superior a ? Justifique.
Passo 1
Pelo que foi dado no enunciado, a variável aleatória obedece uma distribuição binomial com e . Assim, a média dessa variável aleatória é
Sua variância é
Para uma amostra , temos que
Sabemos que
Passo 2
Vamos olhar com calma para o item (a): aqui . Com certeza não podemos usar o teorema central do limite para dizer que a distribuição de é normal.
Sabemos que
Sabemos também que . Para que , devemos ter
Assim, devemos ter
Isso pode acontecer em 3 casos diferentes:
Vamos calcular essa probabilidades usando a distribuição binomial:
Assim,
Assim, fazendo os produtos:
Agora podemos somar todas as probabilidades:
Assim, colocando em evidência:
Portanto,
Passo 3
No item (b), temos que , de modo que podemos dizer que ter uma distribuição normal. Assim,
Logo,
Vamos chamar
Assim,
Mas podemos escrever:
pois
Por simetria, temos que
Assim, podemos escrever
Olhando na tabela no final do livro, achamos
Portanto,