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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 44

Cada pneu traseiro de um avião experimental precisa ser enchido com uma pressão de 40 libras (1 libra = 4 54 gramas) por polegada quadrada (psi – libra por polegada quadrada). Considere X a pressão atual para o pneu direito e Y, para o pneu esquerdo. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias com densidade conjunta

f x , y = k x 2 + y 2 ,                 30 ≤ x < 50 ,         30 ≤ y < 50 0 ,                                                                                                     c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine k .

(b) Determine P ( 30 ≤ X ≤ 40         e         40 ≤ Y ≤ 50 ) .

(c) Determine a probabilidade de que os dois pneus não estejam cheios o suficiente.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Como X e Y são duas variáveis aleatórias contínuas. Para calcularmos a probabilidade vamos usar a fórmula abaixo, a integral definida no intervalo solicitado:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x d y

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Para encontramos o valor de k , nós usamos a seguinte relação:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x d y = 1

Ela é verdadeira, pois, iremos integrar em todo o intervalo válido da função.

k ∫ 30 50 ∫ 30 50 x 2 + y 2 d x d y = 1

k ∫ 30 50 x 2 y + y 3 3 30 50 d x = 1

k ∫ 30 50 50 x 2 + 50 3 3 - 30 x 2 - 30 3 3 d x = 1

k ∫ 30 50 20 x 2 + 98000 3 d x = 1

k 20 3 x 3 + 98000 3 x 30 50 = 1

k 20 3 50 3 + 98000 3 50 - 20 3 30 3 - 98000 3 30 = 1

3920000 3 k = 1

k = 3 3920000

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade   P 30 ≤ X ≤ 40         e         40 ≤ Y ≤ 50 .

  P 30 ≤ X ≤ 40         e         40 ≤ Y ≤ 50 = ∫ 30 40 ∫ 40 50 f ( x ,   y ) d y d x

= 3 3920000 ∫ 30 40 ∫ 40 50 ( x 2 + y 2 ) d y d x

= 3 3920000 ∫ 30 4 0 x 2 y + y 3 3 40 50 d x

= 3 3920000 ∫ 30 4 0 50 x 2 + 50 3 3 - 4 0 x 2 - 4 0 3 3 d x

= 3 3920000 ∫ 30 4 0 10 x 2 + 61000 3 d x

= 3 3920000 10 3 x 3 + 61000 3 x 30 4 0

= 3 3920000 10 3 40 3 + 61000 3 40 - 10 3 30 3 - 61000 3 30

= 3 392000 ∙ 980000 3

P 30 ≤ X ≤ 40         e         40 ≤ Y ≤ 50 = 1 4

Passo 4

Se ambos os pneus estiverem cheios demais, sua pressão está entre 30 e 40, então precisamos determinar a seguinte probabilidade:

  P 30 ≤ X ≤ 40         e         3 0 ≤ Y ≤ 4 0 = ∫ 30 40 ∫ 3 0 4 0 f ( x ,   y ) d y d x

= 3 3920000 ∫ 30 40 ∫ 3 0 4 0 ( x 2 + y 2 ) d y d x

= 3 3920000 ∫ 30 40 x 2 y + y 3 3 3 0 4 0 d x

= 3 3920000 ∫ 30 40 4 0 x 2 + 4 0 3 3 - 3 0 x 2 - 3 0 3 3 d x

= 3 3920000 ∫ 30 40 10 x 2 + 37 000 3 d x

= 3 3920000 10 3 x 3 + 37 000 3 x 30 40

= 3 3920000 10 3 40 3 + 37 000 3 40 - 10 3 30 3 - 37 000 3 30

= 3 392000 ∙ 74 0000 3

P 30 ≤ X ≤ 40         e         3 0 ≤ Y ≤ 4 0 = 37 196

Resposta

(a) k = 3 / 392000

(b) 1 / 4

(c) 37 / 196

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