Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 7
(a) Uma urna contém n bolas brancas e m bolas pretas. As bolas são retiradas uma de cada vez até que somente aquelas de mesma cor sejam deixadas. Mostre que, com probabilidade n/(n + m), todas elas são brancas. Dica: Imagine que o experimento continue até que todas as bolas sejam removidas, e considere a última bola sacada.
(b) Um lago contém 3 espécies distintas de peixes, que chamaremos de R, B e G. Há r peixes R, b peixes B e g peixes G. Suponha que os peixes sejam retirados do lago em uma sequência aleatória (isto é, em cada seleção tem-se a mesma probabilidade de retirar-se qualquer um dos peixes restantes).
Qual é a probabilidade de que os peixes do tipo R correspondam à primeira espécie a ser extinta no lago?
Dica: Escreva P{R} = P(RBG) + P{RGB} e calcule as probabilidades no lado direito da igualdade primeiro condicionando nas últimas espécies a serem removidas.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A - Ao estender a observação até a última bola ser retirada, as probabilidades não são
mudado. Cada permutação é igualmente provável, e cada uma das bolas tem a mesma probabilidade de ser o último sorteado.
E caso as bolas pretas sejam as primeiras a serem retiradas (somente as bolas brancas
restante) é equivalente a um evento que uma bola branca é a última retirada
Como qualquer uma das bolas tem a mesma probabilidade de ser sorteada por último, e há bolas brancas bolas, a probabilidade desejada é
Passo 2
B – Temos a seguinte situação para esta questão
Que é igual a
Aqui, a primeira linha está na dica de que o vermelho, depois o azul e o peixe verde são extintos. A segunda linha é uma forma útil de probabilidade de interseções
As probabilidades das condições são facilmente calculadas como em a), qualquer um dos peixes r + b + g pode ser o último pescado e o evento em que os peixes verdes ou azuis são os últimos a serem extintos é equivalente a um peixe azul e um verde ser o último no lago, portanto:
Passo 3
Para a probabilidade de , nós temos que cada permutação de r+b+g peixe pode ser a ordem em que os peixes são capturados, e da combinatória, vemos que cada permutação de r + b, o peixe vermelho e azul tem a mesma probabilidade de ser a ordem em que esses peixes são capturados. Nas palavras, o peixe verde pode ser ignorado.
Novamente, como em a), cada um dos peixes r + b tem a mesma probabilidade de ser o último sorteado, e RG é a ordem se o último for azul
Assim como
Logo, juntando tudo
E finalmente,