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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 16

Tentativas independentes com probabilidade de sucesso p e probabilidade de fracasso 1-p são chamadas de tentativas de Bernoulli. Seja P n a probabilidade de que n tentativas de Bernoulli resultem em um número par de sucessos (0 é considerado um número par). Mostre que

P n = p 1 - P n - 1 + 1 - p P n - 1 ,     n ≤ 1

E use essa fórmula para demonstrar (por indução) que

P n = 1 + 1 - 2 p n 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O problema pode ser resolvido condicionando-se à primeira tentativa. Teremos um número par de sucesso se e somente se um dos dois casos disjuntos a seguir for verdadeiro:

1 .   A   p r i m e i r a   t e n t a t i v a   f o i   b e m - s u c e d i d a   e   u m   n ú m e r o   í m p a r   d e   s u c e s s o s   a c o n t e c e   e m   n - 1   t e n t a t i v a s

2 .   A   p r i m e i r a   t e n t a t i v a   f a l h o u   e   u m   n ú m e r o   p a r   d e   s u c e s s o s   a c o n t e c e   e m   n - 1   t e n t a t i v a s

Portanto, a relação recursiva vem direta da independência entre as tentativas. Isso é,

P n = p 1 - P n - 1 + q P n - 1 ,     ∀ n ≥ 1

Passo 2

Observe que n = 1 está incluído porque, como assumimos 0 como um número par, logo, P 0 = 1 . Por outro lado, a demonstração por indução fica assim:

n = 1 ;   1 + 1 - 2 p 2 = q = P 1

Assumimos que a igualdade vale para um número natural geral n. Para o caso de n + 1, vamos substituir

P n = 1 + 1 - 2 p n 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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