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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 30

Uma urna contém bolas numeradas de 1 a N. Suponha que n ,   n ≤ N , dessas bolas sejam selecionadas sem devolução. Suponha que Y represente o maior número selecionado

(a) Determine a função de probabilidade de Y.

(b) Deduza uma expressão para E[Y] e então use a identidade combinatória de Fermat (veja o Exercício Teórico 1.11) para simplificá-la.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Como Y é uma variável aleatória que denota o maior número selecionado da urna, então:

Y ∈ n ,   … ,   N

Como as bolas são selecionadas aleatoriamente da urna, portanto, o número possível de combinações será N n .

Deixe k ∈ 1 ,   … ,   N . Se o valor de Y for k, ou seja, o número maior selecionado for k n - 1 , então pode-se escolher as bolas restantes dos k - 1 números de qualquer maneira arbitrária.

Por isso,

P Y = x = k - 1 n - 1 N n

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b).

O objetivo é determinar uma expressão para E ( Y ) e então simplifica-la usando Fermat.

Pela identidade de Fermat, vamos usar:

n k = ∑ i = k n i - 1 k - 1

Pela definição, tem-se:

E Y = ∑ K = n N k . P ( Y )

Pelo Passo 1, descobrimos que:

P Y = x = k - 1 n - 1 N n

Substituindo:

E Y = ∑ K = n N k . k - 1 n - 1 N n = 1 N n ∑ K = n N k . k - 1 n - 1

Pela fórmula n r = n ! r ! n - r ! , tem-se

k . k - 1 n - 1 = k k - 1 ! n - 1 ! k - n !

Multiplicando em cima e embaixo por n :

k k - 1 ! n - 1 ! k - n ! = n n k k - 1 ! n - 1 ! k - n !

n n k k - 1 ! n - 1 ! k - n ! = n k ! n ! k - n ! = n k n

Substituindo na nossa fórmula principal:

E Y = 1 N n ∑ K = n N n k n = n N n ∑ K = n N k n

Pela identidade de Fermat ∑ K = n N k n = N + 1 n + 1 , então

E Y = n N n ∑ K = n N k n = n N n N + 1 n + 1

n N n N + 1 n + 1 = n n ! N - n ! N ! N + 1 ! n + 1 ! N - n !

n n ! N - n ! N ! N + 1 ! n + 1 ! N - n ! = n n ! N ! N + 1 N ! n + 1 n !

n n ! N ! N + 1 N ! n + 1 n ! = n N + 1 n + 1

Com isso

E Y = n N + 1 n + 1

Resposta

a )   P Y = k - 1 n - 1 N n

b )   E Y = n N + 1 n + 1

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