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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 39

Suponha que n jogadas independentes de uma moeda que tem probabilidade p de dar cara sejam feitas. Mostre que a probabilidade de sair um número par de caras é de 1 2 ( 1 + q - p n ) , onde q = 1-p. Faça isso demonstrando e então utilizando a identidade

∑ i = 0 n 2 n 2 i p 2 i q n - 2 i = 1 2 ( p + q ) n + ( q - p ) n

Onde n / 2 é o maior número inteiro menor ou igual a n/2. Compare este exercício com o Exercício Teórico 3.5 do Capítulo 3.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes da gente começar resolver, precisamos relembrar aqui duas equações importantes:

( p + q ) n = ∑ i = 0 n C k p k q n - k

( q - p ) n = ∑ i = 0 n C k ( - p ) k q n - k

Somando os dois termos, vamos ter:

( p + q ) n + ( q - p ) n = ∑ i = 0 n C k p k q n - k + ∑ i = 0 n C k ( - p ) k q n - k

Ok, só que temos aqui um detalhe. Está vendo o ( - p ) k na segunda parte da soma? Então, como sinal negativo está dentro dos parênteses, ele vai influenciar de acordo com o valor de k. O que precisamos saber é:

k = p a r → ( - p ) k = ( p ) k

k = i m p a r → ( - p ) k = - ( p ) k

Com isso, vamos analisar para as duas situações.

Passo 2

Ok, vamos resolver primeiro para k = í m p a r :

( p + q ) n + ( q - p ) n = ∑ i = 0 n C k p k q n - k + ∑ i = 0 n C k ( - p ) k q n - k

( p + q ) n + ( q - p ) n = ∑ i = 0 n C k p k q n - k - ∑ i = 0 n C k ( p ) k q n - k = 0

Agora vamos verificar para k = p a r :

( p + q ) n + ( q - p ) n = ∑ i = 0 n C k p k q n - k + ∑ i = 0 n C k ( p ) k q n - k

( p + q ) n + ( q - p ) n = 2 ∑ i = 0 n 2 C 2 i p 2 i q n - 2 i

Dividindo os dois lados por 2:

1 2 ( p + q ) n + ( q - p ) n = ∑ i = 0 n 2 C 2 i p 2 i q n - 2 i

Além disso, vamos usar aqui a informação do enunciado que q = 1 - p :

1 2 ( p + q ) n + ( q - p ) n = 1 2 ( p + 1 - p ) n + ( q - p ) n

1 2 ( p + 1 - p ) n + ( q - p ) n = 1 2 1 + ( q - p ) n

E é isso galera, está provado.

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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