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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 3

Use a Equação (2.1) para calcular, em uma mão de bridge, a probabilidade condicional de que Leste tenha 3 espadas dado que Norte e Sul tenham um total combinado de 8 espadas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Bem, o experimento consiste em O baralho de 52 cartas é distribuído para 4 jogadores (13 cartas cada), nós vamos chamar de Norte, Leste, Sul e Oeste. Agora, vamos identificar os eventos, que são respectivamente

A - N o r t e   e   S u l   j u n t o s   t e m   8   e s p a d a s  

B - L e s t e   t e m   3   e s p a d a s

O que problema quer saber é a probabilidade de B dado que A aconteça, ou seja, P ( B | A ) . Então vamos calcular!

Passo 2

O espaço de resultado S contém cada divisão dessas 52 cartas em 4 grupos (ordenados) de 13. Se todos os eventos em S forem considerados igualmente prováveis, a probabilidade do evento A   ⊆ S é

P A = A S

Onde essas barras verticais denotam o número de elementos em um termo (seja A ou S). Com isso, o número de elementos em S é igual a

S = 52 13 39 13 26 13 = 52 ! 13 ! 4

Escolhendo 13 cartas para o norte, depois para o leste e depois para o sul, as cartas restantes vão para o oeste. Agora, temos de saber o conceito de probabilidade condicional, que é dado por

P B A = P A B P A

Agora, vamos contar o número de elementos de A. Escolha primeiro as cartas do Norte e do Sul, as oito espadas podem ser escolhidas de 13 8 maneiras, e as 18 cartas restantes das não espadas de 39 18 maneiras. Em seguida, determine as cartas do Norte daquelas 26 em 26 13 maneiras.

Independentemente das escolhas feitas na escolha das cartas para o Norte e para o Sul, as restantes 26 cartas podem ser distribuídas entre leste e oeste de 26 13 maneiras. Usando a fórmula de número de elementos para A, nós temos que

P A = 13 8 ∙ 39 18 ∙ 26 13 ∙ 26 13 S

Passo 3

Para o outro passo não ficar muito extenso, vamos contar o número de elementos de AB nesse passo aqui 😊. O que muda aqui é que além da escolha de cartas para o norte e o sul serem exatamente iguais, ou seja, 13 8 ∙ 39 18 ∙ 26 13 resultados, quaisquer que sejam as escolhas feitas na escolha das cartas para o Norte e para o Sul, escolha 3 de 5 cartas de espadas e 10 de 21 cartas não de espadas para leste, logo, temos que

P A B = 13 8 ∙ 39 18 ∙ 26 13 ∙ 5 3 ∙ 21 10 S

Com isso, a probabilidade condicional será igual a

P B A = 13 8 ∙ 39 18 ∙ 26 13 ∙ 5 3 ∙ 21 10 S 13 8 ∙ 39 18 ∙ 26 13 ∙ 26 13 S

Simplificando, temos os seguintes termos

P B A = 5 3 21 10 26 13

Isso equivale a aproximadamente

P B A ≈ 0,339

Logo, a probabilidade de que Leste tenha 3 espadas dado que Norte e Sul tenham um total combinado de 8 espadas é aproximadamente a 0,339

Resposta

P B A ≈ 0,339

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