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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 35

a. Use as regras de valor esperado para demonstrar que Cov ⁡ a X + b , c Y + d = a c   C o v ⁡ ( X , Y ) .

b. Use a parte (a) junto com as regras de variância e desvio padrão para demonstrar que C o r r ⁡ ( a X + b , c Y + d ) = C o r r ⁡ ( X , Y ) quando a e c têm o mesmo sinal.

c. O que acontece se a e c tiverem sinais contrários?

Passo 1

a. C o v ⁡ ( a X + b , c Y + d ) = E [ ( a X + b ) ( c Y + d ) ] - E ( a X + b ) ⋅ E ( c Y + d )

= E [ a c X Y + a d X + b c Y + b d ] - ( a E ( X ) + b ) ( c E ( Y ) + d )

= a c E ⁡ ( X Y ) - a c E ⁡ ( X ) E ( Y ) = a c C o v ⁡ ( X , Y )

Passo 2

b. C o r r ⁡ ( a X + b , c Y + d ) =

C o v ⁡ ( a X + b , c Y + d ) V a r ⁡ ( a X + b ) V a r ⁡ ( c Y + d ) = a c C o v ⁡ ( X , Y ) | a | ⋅ | c | V a r ⁡ ( X ) ⋅ V a r ⁡ ( Y )

= C o r r ⁡ ( X , Y ) quando a e c têm os mesmos sinais,

Passo 3

c. Quando a e c diferem em sinal C o r ⁡ ( a X + b , c Y + d ) = - C o r r ⁡ ( X , Y )

Resposta

a. a c C o v ⁡ ( X , Y )

b. C o r r ⁡ ( X , Y )

c. - C o r r ⁡ ( X , Y )

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