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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 28

Mostre que, se X e Y são vas independentes, então E X Y = E ( X ) ∙ E ( Y ) . Aplique essa expressão no Exercício 25. [Sugestão: considere o caso contínuo com f x ,   y =   f X x ∙ f Y ( y ) . ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O valor esperado para uma variável aleatória contínua X é:

E X = μ X = ∫ - ∞ ∞ x ∙ f ( x ) d x

Pela definição, temos que:

E X ∙ E Y = ∫ - ∞ ∞ x ∙ f X ( x ) d x ∙ ∫ - ∞ ∞ y ∙ f Y ( y ) d y

= ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y ∙ f X x f Y ( x ) d x d y

= ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y ∙ f ( x ,   y ) d x d y

Logo, encontramos a seguinte relação.

E X ∙ E Y = E ( X Y )

Portanto, provamos que as variáveis são independentes, já que a condição é a equação abaixo ser verdadeira.

f x , y = f X ( x ) ∙ f Y ( y )

Conforme mencionado no Exercício 25, o valor esperado para as variáveis aleatórias distribuídas X e Y é L , sendo assim:

E X Y = E X ∙ E Y

= L ∙ L

E X Y = L 2

Resposta

E X Y = L 2

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