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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 108

O   valor z para testar p 1 - p 2 = d 0 : para testar a hipótese nula de que H 0 = p 1 - p 2 = d 0 , onde d 0 ≠ 0 , baseamos nossa decisăo em

z = p ˆ 1 - p ˆ 2 - d 0 p ˆ 1 q ˆ 1 / n 1 + p ˆ 2 q ˆ 2 / n 2 ,

que é um valor de uma variável aleatória cuja distribuiçáo se aproxima da distribuiçáo normal padráo desde que n 1 e n 2 sejam suficientemente grandes. Em relaçăo ao Exemplo 10.12 , teste a hipótese de que a porcentagem de eleitores da cidade a favor da construção da indústria química náo excederá a porcentagem de eleitores dos arredores em mais de 3 % . Use um valor P em sua conclusão.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja p 1 e p 2 seja a verdadeira proporção populacional de eleitores na cidade e no condado, respectivamente. Para testar H 0 : p 1 - p 2 = 0.03 contra H 1 : p 1 - p 2 > 0.03 . O nível de significância, considerado é α = 0.05 .

Passo 2

A estatística do teste é

Z = p 1 ˆ - p 2 ˆ - d 0 p 1 ˆ q 1 ˆ n 1 + p ˆ 2 q ˆ q 2

onde p 1 ˆ = x 1 n 1 , p 2 ˆ = x 2 n 2

q 1 ˆ = 1 - p 1 ˆ q 2 ˆ = 1 - p ˆ 2

n 1 = tamanho da amostra para os eleitores da cidade n 2 = tamanho da amostra para os eleitores d 0 = do condado diferença entre a proporção da população sob e H 0 x 1 representar o x 2 número de eleitores da cidade e do condado, respectivamente, favorecendo a proposta. Em H 0 , a estatística de teste acima segue a N ( 0,1 ) distribuição.

Dado que

x 1 = 120 x 2 = 240 n 1 = 200 n 2 = 500 d 0 = 0.03 p 1 ˆ = 120 200   = 0.6 q 1 ˆ = 1 - 0.6   = 0.4 p 2 ˆ = 240 500   = 0.48 q 2 ˆ = 1 - 0.48   = 0.52

  Z (  observ ada   ) = 0.6 - 0.48 - 0.03 0.6 × 0.4 200 + 0.48 × 0.52 500   = 2.18

Passo 3

A região crítica é Z (observada) < - z 0.025 onde z 0.05 está o 0.05 ponto superior de N ( 0,1 ) distribuição.

Passo 4

O valor tabulado de z 0.05 é 1.645 Assim, Z ( observado ) > - z . 0.05 Portanto, não rejeitamos H 0 .

Passo 5

P -valor é dado por

P ( Z > 2.18 )   = 1 - 0.9854   = 0.0146

O valor de P é menor que o nível de significância e rejeitamos H 0 .

Resposta

Resposta nos passos.

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