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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 17

Uma variável aleatória contínua   X , que pode assumir valores entre x = 1   e x = 3 , tem função de densidade dada por f ( x ) = 1 / 2 .

(a) Mostre que a área abaixo da curva é igual a 1.

(b) Determine P ( 2 < X < 2,5 ) .

(c) Determine P   ( X < 1,6 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para resolvermos essa questão, vamos precisar calcular a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, para isso nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Como a curva é a linha horizontal y = 1 / 2 no intervalo < 1 ,   3 > , a área que estamos procurando é um retângulo com os seguintes lados:

a = 3 - 1 = 2

b = 1 2 - 0 = 1 2

Então, a área é: A = a ∙ b = 2 ∙ 1 / 2 = 1

Passo 3

Usando a fórmula que definimos no passo 1, a probabilidade é:

P ( 2 < X < 2,5 ) = ∫ 2 2,5 f ( x ) d x

= ∫ 2 2,5 1 2 d x

= x 2 2 2,5

= 2,5 2 - 2 2

P 2 < X < 2,5 = 1 4

Passo 4

De forma similar a letra (a), a probabilidade aqui é:

P X ≤ 1,6 = P ( 1 ≤ X ≤ 1,6 )

= ∫ 1 1,6 f ( x ) d x

= ∫ 1 1,6 1 2 d x

= x 2 1 1,6

= 1 , 6 2 - 1 2

P X ≤ 1,6 = 0,3

Resposta

(a) A = 1

(b) 1 / 4

(c) 0,3

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