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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 57

Se a variável aleatória X é definida de modo que

E X - 1 2 = 10 ,                   E X - 2 2 = 6 ,

Determine μ e σ 2 .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para resolvermos essa questão vamos usar a propriedade abaixo:

E a X 2 + b X + c = a E X 2 + b E X + c

Usando a propriedade podemos manipular os dados do enunciado:

10 = E X - 1 2 = E X 2 - 2 X + 1 = E X 2 - 2 E X + 1

E X 2 - 2 μ X = 9

Para o segundo valor esperado, fazendo a mesma manipulação:

6 = E X - 2 2 = E X 2 - 4 X + 4 = E X 2 - 4 E X + 4

E X 2 - 4 μ X = 2

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Agora, vamos resolver o sistema de equações lineares, onde E ( X 2 ) e μ X são desconhecidos:

Subtraindo a segunda equação da primeira:

E X 2 - 2 μ X - E X 2 - 4 μ X = 9 - 2

2 μ X = 7

μ X = 7 2

Substituindo o valor encontrado na primeira equação:

E X 2 - 2 7 2 = 9

E X 2 = 16

Por fim, podemos encontrar a variância da seguinte forma:

σ X 2 = E X 2 - μ X 2 = 16 - 7 2 2 = 15 4

Resposta

μ X = 7 2

σ X 2 = 15 4

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