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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 2

Para uma variável aleatória com densidade Normal e desvio padrão 5, o teste da média μ = 10     c o n t r a     μ = 14 , teve a região crítica dada por { x ∈ R : x > 12 } para uma amostra de tamanho 25. Determine as probabilidades de erros tipo I   e   I I .

Passo 1

Antes de mais nada, seja X a nossa variável com distribuição X ~ N μ ; 5 2 .

Perceba então que temos um caso de teste para a média com variância conhecida; nesses casos vamos utilizar a seguinte aproximação:

Z = X - - μ σ 2 n ~ N ( 0,1 )

Além disso, temos a seguinte região crítica:

R C = x ∈ R x > 12 }  

E estamos testando as seguintes hipóteses:

H 0 :   μ = 10       c o n t r a         H 1 :   μ = 14

Lembrando que rejeitamos H 0 quando X - pertencer à RC.

Passo 2

Agora, lembrando que o erro tipo I é a probabilidade de a gente rejeitar H 0 sendo que ela é verdadeira.

Em outras palavras:

P E r r o   I = P X - ∈ R C H 0   é   v e r d a d e )

Ou seja,

P X - > 12   μ = 10 )

Vamos usar a aproximação pela normal padrão para encontrar as chances de cometer esse erro:

P X - > 12 = P X - - μ σ 2 n   > 12 - μ σ 2 n  

E então:

P Z > 12 - 10 25 25   = P Z > 2

Lembrando que o gráfico de um modelo normal é simétrico, podemos dizer o seguinte:

P - ∞ < Z ≤ 0 = P 0 ≤ Z < + ∞ = 0,5

E

P 0 ≤ Z < + ∞ - P 0 < Z < 2 = P ( Z > 2 )

Obs: isso é possível pois a tabela nos da as probabilidade sempre de P ( 0 ≤ Z ≤ z ) .

Vamos buscar na tabela então:

Portanto P 0 ≤ Z ≤ 2 = 0,47725

Isso significa que a nossa chance de cometer erro tipo I é:

P Z > 2 = 0,5 - 0,47725 = 0,02275

Passo 3

Já o erro tipo I I , é o contrário; ou seja, é a probabilide de aceitarmos a hipótese nula, sendo ela falsa.

Como rejeitamos H 0 se X - pertencer à zona crítica, então aceitamos H 0 caso X - não pertença a RC; em outras palavras:

P E r r o   I I = P X - ≤ 12   H 0   é   f a l s a )  

Novamente fazendo a aproximação:

P X - ≤ 12   |   μ = 14 = P Z ≤ - 2

Agora, queremos:

P - ∞ < Z ≤ 0 ⏟ 0,5 - P - 2 ≤ Z ≤ 0 = P Z ≤ - 2

Como o gráfico é simétrico:

P 0 ≤ Z < + ∞ ⏟ 0,5 - P 0 ≤ Z ≤ 2 = P ( Z ≥ 2 )

É exatamente igual ao erro I (somente neste caso).

Portanto

P E r r o   I = P E r r o   I I = 0,02 275

Resposta

Concluimos então:

P E r r o   t i p o   I = P E r r o   t i p o   I I = 2,275 %

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