Para uma variável aleatória com densidade Normal e desvio padrão 5, o teste da média μ = 10 c o n t r a μ = 14 , teve a região crítica dada por { x ∈ R : x12 } para uma amostra de tamanho 25. Determine as probabilidades de erros tipo IeI I .

Concluimos então: P E r r ot i p oI = P E r r ot i p oI I = 2,275 %

Enunciado

Antes de mais nada, seja a nossa variável com distribuição .

Perceba então que temos um caso de teste para a média com variância conhecida; nesses casos vamos utilizar a seguinte aproximação:

Além disso, temos a seguinte região crítica:

E estamos testando as seguintes hipóteses:

Lembrando que rejeitamos quando pertencer à RC.

Agora, lembrando que o erro tipo é a probabilidade de a gente rejeitar sendo que ela é verdadeira.

Em outras palavras:

Ou seja,

Vamos usar a aproximação pela normal padrão para encontrar as chances de cometer esse erro:

E então:

Lembrando que o gráfico de um modelo normal é simétrico, podemos dizer o seguinte:

Obs: isso é possível pois a tabela nos da as probabilidade sempre de .

Vamos buscar na tabela então:

Portanto

Isso significa que a nossa chance de cometer erro tipo é:

Já o erro tipo , é o contrário; ou seja, é a probabilide de aceitarmos a hipótese nula, sendo ela falsa.

Como rejeitamos se pertencer à zona crítica, então aceitamos caso não pertença a RC; em outras palavras:

Novamente fazendo a aproximação:

Agora, queremos:

Como o gráfico é simétrico:

É exatamente igual ao erro (somente neste caso).

Portanto

Concluimos então: