Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 3
Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salário de empregadas domésticas na cidade de São Paulo. Foram sorteadas e entrevistadas 200 trabalhadoras. Admita que o desvio padrão dessa variável na cidade é de 0,8 salários mínimos.
- Você conhece a distribuição do estimador ? Se não, é possível fazer alguma suposição?
- Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários mínimos ou é menor. Formule as hipóteses adequadas.
- Para um nível de significância de , construa a região crítica.
- Se a amostra forneceu média de 2,5 salários minímos, qual seria a conclusão?
Passo 1
Bom, primeiro nitidamente não sabemos a distribuição da população mas se ela for normal, então também será.
Mas para garantir, podemos usar o teorema do limite central que nos diz que para amostras muito grandes, a média amostral será normalmente distribuída mesmo que a variável não o seja.
Perceba então, ainda que não possamos dizer que , pelo T.L.C podemos sim dizer que:
Com isso, como temos o conhecimento da variância populacional (enunciado), podemos usar a seguinte aproximação:
Passo 2
Então, fica fácil agora montar nosso teste de hipótese:
Ele assume essa forma pois, primeiro que o sinal de igual sempre acompanha a hipótese nula e segundo que em caso de rejeitarmos ou não obtemos uma resposta clara para a questão em jogo:
“ o salário médio é ou não é menor do que 3?” Se aceitarmos dizemos que não, o salário não é menor do que 3; e caso rejeitarmos, sim o salário é realmente menor.
Beleza, agora com isso podemos montar nossa região crítica; como a hipótese alternativa apresenta sinal de menor, nossa RC será UNILATERAL INFERIOR.
Aaahh..então...Sim! quem define região crítica unilateral superior/inferior ou bilateral sempre é .
Com isso, nossa região ficará assim:
Como o gráfico de uma normal é simétrico(cada metade vale ) :
E a tabela sempre nos da a probabilidade de ocorrer:
Onde quando RC Bilateral ou quando RC unilateral.
Portanto, repare que queremos um tal que
Vamos buscar na tabela, sabendo que:
Ou seja,
Portanto
E nossa região crítica assuma a seguinte forma:
Passo 3
Agora, finalmente podemos realizar o diaxo do teste.
Lembrando que ele sempre é realizado sob porque é sempre na hipótese nula que temos o sinal de igual , e com isso podemos substituir na aproximação citada no passo 1:
Muito claramente, temos , portanto devemos rejeitar
Resposta
Concluindo então:
- Não podemos afirmar se tratar de uma variável com distribuição normal; mas usando o T.L.C podemos comfirmar a normalidade de .
- Podemos afirmar que existem evidências de que o salário médio das empregadas na cidade é menor do que 3 salários mínimos.